Вълново уравнение

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма.

Импулс, движещ се през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.

Сферични вълни, произлизащи от точков източник.

Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика. През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.

Видове уравнения

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$,

където $\Delta$ е оператор на Лаплас, $u=u(x,t)$ е неизвестната функция, $t\in \mathbb {R}$ е времето, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ е пространствената променлива, а $v$ е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$.

Оператор на Д'Аламбер

Разликата $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като $\square$ (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

$\square u=0$

Нееднородно уравнение

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$,

където $f=f(x,t)$ е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$.

Вълнови уравнения за електромагнитното поле

Електромагнитният потенциал на електромагнитното поле e 4-мерен вектор, който зависи от пространството $r$ и времето $t$ и съдържа електричния (скаларен) ${\rm {C({\bf {r}},t)}}$ и магнитния (векторен) ${\rm {{\bf {A}}({\bf {r}},t)}}$ потенциали:

${\begin{aligned}{\rm {\bf {{F}({\bf {{r},t)}}}}}&=C({\bf {{r},t)+{\bf {{A}({\bf {{r},t).}}}}}}\end{aligned}}$

Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото ${\bf {E}}$ и магнитното ${\bf {H}}$ полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че

${\bf {{H}=\operatorname {rot} \mathbf {A} }}$. (1)

Ако така определеният вектор на магнитното поле ${\bf {H}}$ се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:

${\bf {{E}=-\mu {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\operatorname {grad} \mathbf {C} }}$. (2)

Ако в първото уравнение на Максуел се замести ${\bf {H}}$ с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\mathbf {J_{np}} =0$. (3)

Следователно, за определяне на векторния потенциал $\mathbf {A}$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта $\mathbf {J_{np}}$.

Ако в третото уравнение на Максуел се замести ${\bf {E}}$ с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:

${\nabla }^{2}\cdot C-\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}+{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0$. (4)

Следователно, за определяне на скаларния потенциал $C$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди $\rho$.

Ако векторният потенциал $\mathbf {A}$, скаларният потенциал $C$ и плътността на обемните заряди $\rho$ се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} +\mathbf {J_{np}} =0$. (5)

${\nabla }^{2}\cdot C+{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0$. (6)

В областта, където липсват свободни електрически заряди $\rho =0$ и диференциалното уравнение (4) приема вида:

${\nabla }^{2}\cdot C-\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=0$. (7)

Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.

Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост $\mathbf {J_{np}} =0$ се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=0$. (8)

Решения на вълновите уравнения

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ($\mathbb {R} ^{1}$) – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана ($\mathbb {R} ^{2}$) – формула на Поасон.

Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:

$C={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho dV}{r}}$

Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента $t-{\frac {r}{v}}$:

$C\left(t-{\frac {r}{v}}\right)$,

където $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати $(x,y,z)$ и изразява модула на радиус-вектора между двете точки;
$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемости ε₀ и μ₀. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:

$C={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho \left(t-{\frac {r}{v}}\right)dV}{r}}.$

Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:

$\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\mathbf {J_{np}} \left(t-{\frac {r}{v}}\right)dV}{r}}$.

Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време ${\frac {r}{v}}$, необходимо за разпространение на вълнàта на разстояние $r$ със скорост $v$. Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.

Формула на Д'Аламбер

Решение на едномерно вълново уравнение (тук $v=a$ е фазовата скорост):

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функцията $f(x,t)$ съответства на външна сила)

с начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

има вида

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$,

имащо следния вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$

Решение на двуизмерното вълново уравнение.

може да бъде представено и така

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$

където

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }$

$f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

Метод на отражение

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

се използват същите съображение и функцията $f(x,t)$ се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

$X(x)T(t)$, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията $u(x,t)=X(x)T(t)$ да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решението на задачата на Щурм при $X(x)$ води до резултат:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и техните собствени стойности $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Съответстващите им функции $T$ изглеждат като

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разлагайки функцията $\varphi (x),\psi (x)$ в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите $\alpha _{n},\beta _{n}$, при които решението ще приеме такива начални условия.

Вижте също

• Частно диференциално уравнение
• Уравнение на електромагнитните вълни
• Уравнения на Максуел
• Уравнение на Поасон
• Уравнение на Лаплас
• Уравнение на Хелмхолц
• Електричен потенциал
• Магнитен векторен потенциал
• Закъсняващ потенциал