Геометрична прогресия

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия

$a_{1},a_{2},...,a_{n},...$

е в сила $a_{n}=a_{n-1}q$, където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и частното.

Формула за общия член

Формулата за n-тия член на прогресията е:

$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$.

Анализ на частното

• q < 0 – ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
• q > 1 – клоняща към плюс или минус безкрайност редица, в зависимост от знака на първия член,
• q < -1 – могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност и нечетните към плюс безкрайност или обратно, в зависимост от знака на първия член,
• 0 < q < 1 – редицата клони отгоре или отдолу към 0, в зависимост от знака на първия член,
• -1 < q < 0 – редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове,
• q = 1 – редицата е от константи, равни на първия член,
• q = -1 – редицата е от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на номера,
• q = 0 – редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства

• $a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}$

за всяко n ≥ 2, т.е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\sum _{i=0}^{n-1}q^{i}$

или

$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\dots +a_{1}q^{n-1}\,\,\,\,\,(1)$.

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+\dots +a_{1}q^{n}\,\,\,\,\,(2)$

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от $a_{1}q$ до $a_{1}q^{n-1}$ се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено $a_{1}$ и $a_{1}q^{n}$:

$S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}$.

$S_{n}(1-q)=a_{1}(1-q^{n})$.

Което ни дава формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия

$S_{n}={a_{1}(1-q^{n}) \over (1-q)}$ при $\!q\neq 1$.

$S_{n}=na_{1}\,$ при $\!q=1$.

Aкo $\left|q\right|<1$, то $q^{n}\to 0$ и

$\lim _{n\to \infty }{S_{n}}={a_{1} \over 1-q}$

Произведение на геометричната прогресия

Произведението на първите n члена на геометричната прогресия е:

$p_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdot \cdot \cdot a_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}$

или

$p_{n}=a_{1}\times a_{1}q\times a_{1}q^{2}\times \cdot \cdot \cdot \times a_{1}q^{n-1}$

От тук се получава:

$p_{n}=a_{1}^{n}q^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}$

Степента на q е аритметична прогресия и се получава:

$p_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}$

И накрая,

$p_{n}=a_{1}^{n}{\sqrt {q^{n^{2}-n}}},\ n\in \mathbb {Z} ^{+}$

Вижте също

• Аритметична прогресия
• Томас Малтус