Математическо очакване

В математиката, и по-точно в теорията на вероятностите и статистиката, математическото очакване представлява характеристична стойност на вероятностното разпределение на една случайна величина. Математическото очакване се базира на теорията на абстрактния интеграл на Лебег. Може да се интерпретира като „средна стойност“ на дадена случайна величина, въпреки че тази стойност може да не бъде възможен неин изход. Математическото очакване не бива да се бърка с „най-вероятен изход“ от случайния експеримент.

Дефиниция редактиране

Означение редактиране

С   =   се означава множеството на интегрируемите по Лебег случайни величини, дефинирани върху вероятностното пространство ( ).

Нека  . Тогава интегралът   се нарича математическо очакване на случайната величина  . Впоследствие се разглеждат два специални случая, които са разискани по-долу.

Математическо очакване на дискретна случайна величина редактиране

Ако   е дискретна случайна величина, т.е. ако  , за едно изброимо множество  .   то нейното математическо очакване е   тогава и само тогава, когато  .

Математическо очакване на непрекъсната случайна величина редактиране

Ако   е непрекъсната случайна величина с плътност на разпределението  .   то нейното математическо очакване е   тогава и само тогава, когато  .

Свойства редактиране

Математическото очакване представлява функция   със следните свойства:

  • Ако   е константа, то тогава  .
  • За   и   важи

 . (линейност)

  • Ако важи   за две случайни величини X и Y, то тогава следва

 . (монотонност)

Примери редактиране

Пример 1. редактиране

Нека   бъде една биномно разпределена случайна величина с параметри   и  . Тогава математическото очакване на X e  .

Доказателство:

Разглеждаме   независими и еднакво разпределени случайни величини с   (  е Бернули-разпределена с параметър  ). Тъй като   е изброимо множество, попадаме в първи случай, разгледан в дефиницията по-горе. Тогава    

Дефинирайте  . Тогава   и с помощта на линейността на математическото очакване получаваме  .

Еднократно хвърляне на зар. Стохастичен модел на случайния експеримент редактиране

 
 
  : равномерно разпределение върху  .

Дефинираме една случайна величина  :  , която ще описва изхода от хвърлянето. Тогава имаме   за  . С това  .

Източници редактиране

  • Georgii, Hans-Otto (2008). „Stochastics“, Gruyter, ISBN 10: 3110191458
  • Krengel, U. (2005). „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Vieweg
  • Irle, A. (2005). „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Teubner
  • Боровков, A. A. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1976. с. 66.