Обикновено диференциално уравнение

Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.Уравнение от вида $F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0$, където $x$ е независима променлива, $y$ е неизвестна функция, а $y^{'},...,y^{(n)}$ са нейните производни до ред $n$, се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от $n$-ти ред. Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.

Хомогенни диференциални уравнения

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

${a_{0}{{d^{n}y} \over {dx^{n}}}}+a_{1}{{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}}}+...+a_{n-1}{{dy} \over dx}+a_{n}.y=b$,

където $a$ и $b$ могат да са функции на $x$ или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение $n$-тата производна спрямо $x$ се обозначава с $D^{n}$.

Ползвайки този оператор $D$ горното диференциално уравнение може да се запише като:

${a_{0}D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy+a_{n}y=b}.$

Ако $b=0$, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако $b\neq 0$, уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред

$a{{d^{2}y} \over {dx^{2}}}+b{{dy} \over {dx}}+cy=0$

При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

$Dy=dy/dx$

$(D+1)y=dy/dx+y$

$(D-2)(D+1)y=(D-2)(dy/dx+y)=d^{2}y/dx^{2}+dy/dx-2dy/dx-2y=D^{2}y-Dy-2y$

$(D-2)(D+1)y=(D^{2}-D-2)y$

Забележете че $D$ има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с $D$ можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: $aD^{2}y+bDy+cy=0$ =>$(aD^{2}+bD+c)y=0.$

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме: $\mathbf {a(D-y_{1})(D-y_{2})y=0} .$

Полагаме

$z=(D-y_{2})y$, където $(D-y_{2})y$ е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

$(D-y_{1})z=0$

${dz \over dx}-y_{1}.z=0$

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

${dz \over dx}=y_{1}.z$

${dz \over z}-y_{1}.dx=0$

$ln{z \over C_{1}}=y_{1}.x$

$z=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

Заместваме полученият резултат за z в

$(D-y_{2})y=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

$dy-y_{2}.y.dx=C_{1}.e^{y_{1}.x}.dx$

$y'-y_{2}.y=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

$(y.e^{-y_{2}.x})'=y'e^{-y_{2}.x}-y.e^{-y_{2}.x}.y_{2}=e^{-y_{2}.x}.(y'-y_{2}.y)$

$y'-y_{2}.y=(y.e^{-y_{2}.x})'.e^{y_{2}.x}=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

$(y.e^{-y_{2}.x})'=C_{1}.e^{y_{1}.x}.e^{-y_{2}.x}=C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}$

интегрираме и получаваме следното решение:

$y.e^{-y_{2}.x}=\int C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}dx+C_{2}$

Преобразуваме:

$y=e^{y_{2}.x}.\int C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}dx+C_{2}.e^{y_{2}.x}{}$

Когато $y_{1}$ и $y_{2}$ са реални числа, решението за функцията $y$ е:

$y=c_{1}e^{y_{1}.x}+c_{2}.e^{y_{2}.x}$

Вижте също

• Методи на Рунге-Кута