Обобщена обратност

В математиката, в частност – алгебрата, обобщената обратност на елемент х е елемент y , който има някои от свойствата на обратност, но не притежава всички от тях. Обобщената обратност може да бъде определена във всяка математическа структура, която включва асоциативна мултипликация, т.е. е в полугрупи. Тази статия описва обобщените обратности на матрицата $A$.

Формално дефинирано, за матрицата $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ и матрицата $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $A^{\mathrm {g} }$ е обобщена обратна на $A$, ако отговаря на условието $AA^{\mathrm {g} }A=A$.

Целта на изграждане на обобщена обратна матрица е да се получи матрица, която може да служи като обратна връзка в известен смисъл за по-голям брой матрици, което не важи за обратната матрица. Обобщена обратност съществува за произволна матрица, а когато матрицата има редовна обратност, то тогава тази обратност е уникалната обобщена обратност.

Мотивация

Да разгледаме линейната система

$Ax=y$

където $A$ е $n\times m$ матрица и $y\in {\mathcal {R}}(A)$ е колонното пространство на $A$. Ако $A$ е неособена, тогава $x=A^{-1}y$ ще бъде решение на системата. В този случай, К. Р. Рао и С. К. Митра наричат $A^{-1}$ редовна обратност на $A$. Трябва да се има предвид, че ако $A$ е неособена, то тогава

$AA^{-1}A=A.$

Да предположим, че $A$ е особена, или $n\neq m$. Тогава имаме нужда от подходящ кандидат $G$ от ред $m\times n$ такъв, че за всички $y\in {\mathcal {R}}(A)$,

$AGy=y.$

Т.е. $Gy$ е решение на линейната система $Ax=y$.

С други думи, нуждаем се от матрицата $G$ от ред $m\times n$ така, че

$AGA=A.$

По този начин можем да определим общата обратност или g-братност както следва: за дадена $n\times m$ матрица $A$, $m\times n$ матрицата $G$ се нарича обобщена обратна на $A$, ако $AGA=A.$

Видове

Следват условията на Пенроуз за определяне на различните обобщени обратности на $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ и $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}:$

1. $AA^{\mathrm {g} }A=A$
2. $A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3. $(AA^{\mathrm {g} })^{\mathrm {T} }=AA^{\mathrm {g} }$
4. $(A^{\mathrm {g} }A)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {g} }A,$

където $^{\mathrm {T} }$ е транспониране на спрегнато. Ако $A^{\mathrm {g} }$ отговаря на първото условие, то тогава тя е обобщено обратна на $A$. Ако отговаря на първите две условия, тогава тя е рефлективно обобщено обратна на $A$. Ако тя отговаря на четирите условия, то тя е псевдообратна на $A$. Псевдообратната понякога се нарича Мур-Пенроуз обратна, поради приноса на Д. З. Мур и Роджър Пенроуз. Когато $A$ е неособена, $A^{\mathrm {g} }=A^{-1}$ е уникална, но във всички други случаи има безкраен брой матрици, които отговарят на условието (1). Въпреки това, Мур-Пенроуз обратността е уникална.

Има и други видове обобщена обратност:

• Едностранна обратност (дясна или лява обратност)
  • Дясна обратност: Ако матрицата $A$ има размери $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=n$, то тогава съществува $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ която се нарича дясно обратна на $A$ така, че $AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}$, където $I_{n}$ е $n\times n$ единична матрица.
  • Лява обратност: Ако матрицата $A$ има размери $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=m$, то тогава съществува $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {L} }^{-1}$, която се нарича ляво обратна на $A$ така, че $A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}$, където$I_{m}$ е $m\times m$ единична матрица.

• Бот–Дафина обратност
  
• Дражин обратност
  

Примери

Рефлективна обобщена обратност

Нека

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.$

Където $\det(A)=0$, $A$ е особена и не е регулярно обратна. Въпреки това, $A$ и $G$ отговарят на условията (1) и (2), но не и на (3) и (4). Следователно, $G$ е рефлективно обобщена обратност на $A$.

Еднопосочна обратност

Нека

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.$

Където $A$ не е квадратна, а $A$ няма регулярни обратности. Въпреки това, $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ е дясно обратна на $A$. Матрицата $A$ няма лява обратност.

Изграждане

Следните характеристики са лесни за потвърждение:

1. Дясна обратност на неквадратна матрица $A$$A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}$.
2. $A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }$.
3. Ако $A=BC$ е рангова факторизация, то тогава $G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}$ е g-обратна на $A$, където $C_{\mathrm {R} }^{-1}$ е дясна обратност на $C$ и $B_{\mathrm {L} }^{-1}$ лява обратност на $B$.
4. Ako $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ за която и да е необратна матрица $P$ и $Q$, то тогава $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ е обобщена обратност на $A$ за случайни $U,V$ и $W$.
5. Нека $A$ бъде от ранг $r$. Без загуба на обобщеност, нека 
   

$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},$

където $B_{r\times r}$ е неособена подматрица на $A$. Тогава,

$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$ е g-обратна на $A$.

Приложения

Всяка обобщена обратност може да се използва, за да се определи дали система от линейни уравнения има решения и ако има, да върне всички тях. Ако някакви решения съществуват за линейната система n × m

$Ax=b$,

с вектор $x$ от неизвестни и вектор $b$ от константи, всички решения са дадени от

$x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w$,

параметрично на произволен вектор $w$, където $A^{\mathrm {g} }$ е която и да било обобщена обратност на $A$. Съществуват решения тогава и само тогава, когато $A^{\mathrm {g} }b$ е решение, което е вярно тогава и само тогава, когато $AA^{\mathrm {g} }b=b$.

Източници

• Ben-Israel, Adi, Greville, Thomas N.E. Generalized inverses: Theory and applications. 2nd. New York, NY, Springer, 2003. ISBN 0-387-00293-6.
• Campbell, S. L., Meyer, Jr., C. D. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover, 1991. ISBN 978-0-486-66693-8.
• James, M. The generalised inverse // Mathematical Gazette 62. June 1978. DOI:10.2307/3617665. с. 109 – 114.
• Nakamura, Yoshihiko. Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley, 1991. ISBN 0201151987.
• Rao, C. Radhakrishna, Mitra, Sujit Kumar. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York, John Wiley & Sons, 1971. ISBN 0-471-70821-6. с. 240.
• Zheng, B и др. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation // Applied Mathematics and Computation 155. 2004. DOI:10.1016/S0096-3003(03)00786-0. с. 407 – 415.