Ойлерова права

Ойлеровата права или правата на Ойлер е права във всеки триъгълник, определена от центъра на описаната около триъгълника окръжност (пресечна точка на симетралите), медицентъра (пресечната точка на медианите) и ортоцентъра (пресечната точка на височините), които при стандартните означения за триъгълник са съответно О, G и Н.

Ойлеровата права е в червено и преминава през пресечената точка на височините H (начертани в синьо), на медианите G (в светлозелено) и на симетралите (в оранжево) O.

Доказателство

За да се докаже, че трите точки лежат на една права, е необходимо да се покаже, че ${\overrightarrow {OG}}=\lambda {\overrightarrow {OH}}$. От теоремата на Хамилтон следва, че

${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\ (1)$

От друга страна, за произволна точка е в сила равенството (вж. медицентър):

${\overrightarrow {OG}}={\dfrac {1}{3}}\left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\right)\ (2)$

От $(1)$ и $(2)$ се стига до извода, че

${\overrightarrow {OG}}={\dfrac {1}{3}}{\overrightarrow {OH}}$.

С това се доказва, че точките $O$, $G$ и $H$ лежат на една права.

Свойства

• Освен че трите точки $O$, $G$ и $H$ лежат на една права, в сила е и съотношението $OG:GH=1:2$.
• Ако Ойлеровата права минава през връх на триъгълника, то той е равнобедрен и/или правоъгълен (като едното не изключва другото).
• На Ойлеровата права лежи центърът $N$ на окръжността на Фойербах (още наречена „окръжност на деветте точки“). В сила са съотношенията: $ON:NH=2:1$, $OG:GN=2:1$, $GN:NH=1:3$.
• Също така, на Ойлеровата права лежи точката на Лоншан, дефинирана като ортоцентър на антикомплементарния на дадения триъгълник.