Скобки на Поасон

Скобките на Поасон са важен оператор в хамилтоновата механика, играещ централна роля в описанието на времевата еволюция на динамичните системи във формулировката на Хамилтон. В по-общ планк, скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен случай. Те са наречени на френския математик Симеон Дени Поасон.

Обобщени координати

В обобщените координати $(q_{i},p_{j})$ на фазовото пространство, скобките на Поасон на две функции $f(p_{i},q_{i},t)\,$ и $g(p_{i},q_{i},t)\,$ се записват:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].$

Уравнения на движението

Пълният диференциал на дадена функция във фазовото пространство може още да бъде записан със скобките на Поасон. Нека $f(p,q,t)$ е функция, дефинирана върху дадено многообразие. Пълният ѝ диференциал има вида:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$

Ако заместим в горното уравнение обобщените координати $p=p(t)$ и $q=q(t)$ с техните изрази в уравненията на Хамилтон-Якоби (${\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}$ и ${\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}$), получаваме:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}.$

Следователно, изменението с времето на дадена функция f, дефинирана на симплектично многообразие може да бъде описано от поток. В запис, независим от избора на координатна система, изразът на пълния диференциал на функцията придобива вида:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\cdot \,\}\right)f.$

Операторът $-\{\,H,\cdot \,\}$ се нарича още Оператор на Лиувил.

Константи на движението

Дадена интегрируема система може да притежава константи на движението, различни от енергията. Такива константи на движението трябва да комутират с хамилтониана в смисъла на скобките на Поасон. Нека $f(p,q)$ е константа на движението. Следователно, наредената двойка $p(t),q(t)$ е траектория, или двойка решения на уравненията на Хамилтон-Якоби, а нейният пълен диференциал е равен на нула: $0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}$. Като заместим с уравненията на Хамилтон-Якоби, получаваме:

$0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q)={\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}$

Това уравнение е познато като уравнение на Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи, че времевата еволюция на дадена динамична система се определя от уравнението на Лиувил.

Общи свойства

• Скобките на Поасон притежават свойството антисиметричност(Понякога наричано и „кососиметричност“ ):
  $$\{A,B\}\ =\ -\ \{B,A\}$$
• Скобките на Поасон удовлетворяват тъждеството на Якоби:

$\{A,\{B,C\}\}\ +\ \{B,\{C,A\}\}\ +\ \{C,\{A,B\}\}\ =\ 0$

• Обобщените координати са свързани с уравнението:
  $$\{q^{j},p_{k}\}\ =\ \delta _{k}^{j}$$

Уравнения на Хамилтон-Якоби

Нека $H(q^{i},p_{i})$ е хамилтониана на разглежданата система. Уравненията на Хамилтон-Якоби могат да бъдат записани със скобките на Поасон:

$${\dot {q}}^{j}\ =\ \{q^{j},H\}\ =\ {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}$$

и:

$${\dot {p}}_{j}\ =\ \{p_{j},H\}\ =\ -\ {\frac {\partial H}{\partial q^{j}}}$$

Квантов еквивалент

В квантовата механика, комутаторът на две наблюдаеми X и Y е пропорционален на техните скобки на Поасон:

$$\{X,Y\}\ \to \ {\frac {1}{i\hbar }}\ [{\widehat {X}},{\widehat {Y}}]$$

където с $[.,.]$ е обозначен комутаторът. По този начин получаваме комутационните съотношение на наблюдаемите във формализма на Хайзенберг. Същата стратегия може да бъде приложена при квантуването на електричното поле, например.

Източници

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. – М.: Физматгиз, 1958. („Теоретическая физика“, том I).

Вижте също

• Оператор на Хамилтон