Сферична координатна система

Сферична координатна система в математиката и физиката се нарича координатна система за определяне на положението на точка в тримерно пространство с една линейна и две ъглови координати.

Сферични координати (r, θ, φ) с означения по международния стандарт ISO/IEC 80000: радиус-вектор r, зенитен ъгъл θ (тита) и азимут φ (фи). Вместо r, може да се ползва символа ρ (ро).

Сферични координати (r, θ, φ) с означения в някои математически източници: радиус-вектор r, азимут θ, и полярен ъгъл φ. Значенията на θ и φ са разменени спрямо международния стандарт ISO/IEC 80000.

Положението на точката $P$ се представя с тройка сферични координати $(r,\;\theta ,\;\varphi )$, където $r$ е разстоянието на точката от координатното начало (наричано още радиус-вектор или полярен радиус на точката), $\varphi$ е нейният хоризонтален ъгъл (азимут), а $\theta$ е нейният вертикален или зенитен ъгъл (наричан още полярен ъгъл или ъгъл на инклинация).

В почти всички научни направления (физика, електродинамика, антенно-фидерна техника, радиолокация, астрономия, география, геодезия) е приет международният стандарт ISO/IEC 80000 за обозначаване на азимута с $\varphi$ и зенитния ъгъл с $\theta$. В някои математически източници е обратно: азимутът се обозначава с $\theta$, а зенитният ъгъл с $\varphi$, което трябва да се има предвид при ползване на различни източници.

Дефиниция

За дефиниция на сферична координатна система се избира някаква равнина, обозначена с $OXY$ или $Z$, и перпендикулярна на нея ос $Z$, която пресича равнината в координатното начало $O$. Върху равнината се избира лъч с начало $O$, който определя референтния вектор за измерване на азимута (оста $X$). Най-често основната равнина $OXY$е хоризонтална, а оста $Z$ е вертикална и се нарича „полярна ос“, по аналогия с оста на въртене на земното кълбо, минаваща през полюсите.

Сферичните координати $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ на точка $P$ се дефинират като:

• $r$ – разстояние от координатното начало $O$ до точката на наблюдение $P$ или радиус-вектор на точката.
• $\theta$ – вертикален ъгъл между полярната ос $Z$ и радиус-вектора $r$ на точката $P$.
• $\varphi$ – хоризонтален ъгъл между отправната ос $X$ и проекцията на радиус-вектора на точката $P$ върху равнината $OXY$.

Ъгълът, допълващ зенитния ъгъл $\theta$ до 90° се нарича ъгъл на място, ъгъл на възвишение или елевация: $\varepsilon =90^{\circ }-\theta$

Ъглите $\theta$ и $\varphi$ са неопределени при $r=0$, а $\varphi$ е неопределен при $\sin(\theta )=0$ (при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Знакът за азимут се определя от предварително дефинирана положителна посока на въртене спрямо оста $Z$.

Мерни единици

Ъглите се измерват в градуси (°) или радиани (rad), където $360^{\circ }=2\pi$[rad]. Мерки на ъгли в градуси се използват най-често в географията, астрономията и инженерните науки. В теоретичната физика и математиката се предпочитат мерки в радиани. Мерната единица за полярен радиус r се определя при дефиницията на координатната система.

Граници

При дефиницията на координатната система се поставят гранични стойности за ъглите $\theta$ и $\varphi$. Обичайно $\theta \in {\mathopen {[}}0^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {[}}0^{\circ },360^{\circ }{\mathclose {)}}$ (в радиани: $\theta \in {\mathopen {[}}0,\pi {\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {[}}0,2\pi {\mathclose {)}}$). Предпочитаните граници в географските координатни системи са $\theta \in {\mathopen {[}}-90^{\circ },90^{\circ }{\mathclose {]}}$ и $\varphi \in {\mathopen {(}}-180^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}$.

Външни препратки

• Ъгъл на място на целта
• MathWorld description of spherical coordinates
• Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates