Тригонометричен полином

Тригонометричен полином е израз от вида

$P(t)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{int}.$

Числата $a_{n}\in \mathbb {C}$ се наричат коефициенти на полинома $P(t)$, а най-голямото n, такова че $|a_{n}|+|a_{-n}|\neq 0$ се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията $e^{int},n\in \mathbb {Z}$ да бъде интегруема в интервала $\mathbb {T} =[0,2\pi )$. Тогава изразът $P(t)$ дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на $L^{1}(\mathbb {T} )$.

Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:

$P(t)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}\cos(nt)+\mathrm {i} \sum _{n=-N}^{N}a_{n}\sin(nt)\qquad (t\in \mathbf {R} ).$

Ако е известна функцията $P(t)$, коефициентите на полинома $a_{n}$ могат да се пресметнат по формулата

$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }P(t)e^{-int}dt$,

понеже интегралът $\int _{\mathbb {T} }e^{int}dt$ е ненулев само ако $n=0$.

Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.

Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала $[0,2\pi )$.

Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми

Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции $C(\mathbb {T} )$ с норма $\|f\|_{\infty }=\max _{t\in \mathbb {T} }|f(t)|$.

Конволюция

Конволюцията на тригонометричен полином $P(t)$ с функция $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:

$P(t)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{int}(P\ast f)(t)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}.$

Приложения

Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.