Резюме

ОписаниеKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Дата	05/08/06
Източник	Own drawing, Mathematica 5.1
Автор	Fropuff, Inductiveload
Права (Повторно използване на файла)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Тази творба е публикувана от своя автор, Fropuff, като обществено достояние. Това разрешение е в сила за целия свят. В някои държави това може да не е възможно от законодателна гледна точка; затова: Fropuff дава на всекиго правото да използва тази творба за всякакви цели, без никакви условия, освен ако такива условия съществуват по закон. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Тази творба е публикувана от своя автор, Inductiveload, като обществено достояние. Това разрешение е в сила за целия свят. В някои държави това може да не е възможно от законодателна гледна точка; затова: Inductiveload дава на всекиго правото да използва тази творба за всякакви цели, без никакви условия, освен ако такива условия съществуват по закон.
други версии	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

File:KleinBottle-Figure8-01.svg е векторна версия на този файл. Тя следва да бъде използвана на мястото на това растерно изображения, в случай, че не е ниш. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg За повече информация, вижте Help:SVG. На други езици Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.