Функция на Мьобиус

Функцията на Мьобиус μ(n) е важна функция в теорията на числата и комбинаториката. Наречена е на немския математик Август Мьобиус, който я въвежда през 1832 г.

Определение

Дефиниционното множество на функцията μ(n) е съвкупността $\mathbb {N}$ на естествените числа. Функцията приема трите стойности +1, –1 и 0 в зависимост от разлагането на n на прости множители. А именно:

• μ(n) = +1, ако n е безквадратно число с четен брой прости множители;
• μ(n) = –1, ако n е безквадратно число с нечетен брой прости множители;
• μ(n) = 0, ако n не е безквадратно число.

Свойства

Функцията на Мьобиус е мултипликативна, тоест μ(ab) = μ(a) μ(b) за всички взаимно прости числа a и b.

Сборът от стойностите на функцията е нула, когато нейният аргумент пробягва делителите на естествено число, по-голямо от единица:

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1;\\0,&n>1.\end{cases}}$

Формула за обръщане

За всички аритметични функции $f$ и $g$ важи следната еквивалентност:
$g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)\iff f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$.