Отваря главното меню

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

Апроксимиране на реалните числа с рационалниРедактиране

Теорема 1. Нека   е реално число, а   – естествено. Тогава съществуват цели числа   и  , за които   и  

 

За произволно реално   да означим с   най-голямото измежду целите числа  . Така например,  ,  . От това определение става ясно, че   е цяло число и че  .

Да разгледаме числата  . Те са   на брой и лежат в интервала  . Разделяме последния интервал на   равни подинтервала   всеки от които има дължина  . От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа   и   между   и  , за които числата   и   принадлежат на един и същи интервал  . Следователно разстоянието между тях няма да надминава  , т.е.

 

или, което е същото  ,

 

Тъй като  , без ограничение на общността може да се предположи, че  . Освен това,  ,  , следователно  . Да положим   и  . Тогава   и   са цели числа и са в сила неравенствата  . При тези означения   добива вида  , откъдето след деление на двете страни с   се получава  . От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число   съществуват безбройно много естествени числа  , за всяко от които съществува цяло число   за което е в сила неравенството

 [2]

ИзточнициРедактиране

  1. Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
  2. Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство „Народна просвета“, София, 1975 г.