Отваря главното меню

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия

е в сила , където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и частното.

Формула за общия членРедактиране

Формулата за n-тия член на прогресията е:

 .

Анализ на частнотоРедактиране

  • q < 0 – ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
  • q > 1 – клоняща към плюс безкрайност редица,
  • q < -1 – ще се получат 2 редици – едната, клоняща към минус безкрайност, а другата – към плюс безкрайност,
  • 0 < q < 1 – редицата клони към 0,
  • q = 0 – редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

СвойстваРедактиране

  •  

за всяко n ≥ 2, т.е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако   е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресияРедактиране

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

 

или

 .

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

 

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от   до   се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено   и  :

 .
 .

Което ни дава формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия

  при  .
  при  .

Ako  , то   и

 

Вижте същоРедактиране