Отваря главното меню
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Граница.

Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност.[1] Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, деривативи и интеграли.

Формулата за лимит на функция обикновено се записва по следния начин:

,

и се чете: границата на f от x, когато x се доближава до c, е равна на L. Фактът, че функцията f се доближава до лимита L, когато x се доближава до c, понякога се записва със стрелка, например:

Граница на функцияРедактиране

   
Винаги, когато точка x е в δ от c, f(x) е в ε единици от L.
За всяко x > S, f(x) е в ε на L.

Нека   да е реална функция, а  реално число. Интуитивно, записът

 

означава, че  може да бъде много близо до   като доближим   достатъчно близо до  . В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на  от  , когато   клони към  , е  “.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „ да се доближи до  “ да означава, че  лежи в интервала  , което може да се запише и със знака за абсолютна стойност –  [2]. Тогава изказът „когато   клони към  “ индикира, че се отнасяме към стойностите на  , чието разстояние от   е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на   при   или  , може да се изрази с  . Първото неравенство означава, че разстоянието между   и   е по-голямо от  и, че  , а следващото неравенство показва, че   е на разстояние   от  .

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако  . Функцията   не е необходимо да бъде дефинирана при  .

Например, ако

 

то тогава   не е дефинирана (виж делене на нула), но когато   се доближава до 1,   се доближава до 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 ⇒ недефинирана ⇐ 2.001 2.010 2.100
 
Функцията sinx/x

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

 

за   води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на  , близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

 .

 
Функцията tg x

Лява и дясна граница на функцияРедактиране

В много случаи независимата променлива х клони към х0 чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това, дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

  за лява граница и

  за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията   при  , клонящо към  , са съответно  .

Неистинска граница на функцияРедактиране

Казва се, че функцията   има неистинска граница   или  , ако за всяко произволно голямо число   съществува такова число  , че за всички  , за които  , е изпълнено неравенството  , съответно f(x) < -C . Означава се:

  ,  .

Поведение на функциите в безкрайносттаРедактиране

Поведението на дадена функция  за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента   се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

  и съответно  

ако за произволно отнапред дадено  съществува такова достатъчно голямо  , че   за всички   или съответно за всички  .

Граница на числова редицаРедактиране

Граница на дадена числова редица   е число   точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число   може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |anl| < ε за всички n > N(ε).

 

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

 

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число   е граница на числовата редица  , ако всяка околност ("всяка околност" е интервалът   за произволно  ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

 

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече   намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата   няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието "Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой", понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано - Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редициРедактиране

  • Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то
 
 
 
 

за bn ≠ 0 и   ≠ 0.

  за c = const.
 

при с1 = const, c2 = const.

  при b > 0, a > 0, b ≠ 1.
  при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редициРедактиране

  • Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
  • Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
  • Ако за всички членове на сходящата редица (аn) при   са изпълнени неравенствата   то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата:  
  • Ако   са три сходящи редици, такива че   и    , то  .

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
    Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Limit (mathematics)“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода и списъка на съавторите.