Закон на Био-Савар

Законът на Био-Савар (по-рядко наричан още Закон на Био-Савар-Лаплас) дава връзката между тока $\scriptstyle {\mathbf {I} }$ и магнитното поле $\scriptstyle {\mathbf {B} }$, което той създава. Кръстен е на двамата френски математици Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot) и Феликс Савар (Félix Savart). В сила е само за статични магнити полета и обикновено се прилага в по-прости случаи, вместо закона на Ампер.

Математично представяне

${\overrightarrow {B}}({\overrightarrow {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int I\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {l}}\times {\frac {{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}'}{|{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}'|^{3}}}$

където:

$\scriptstyle {\mathbf {B} }$ е магнитното поле, което създава проводникът,

$\scriptstyle {\mu _{0}}$ е магнитната константа,

$\scriptstyle {I}$ е токът,

$\scriptstyle {\mathrm {d} l}$ е безкрайно малко парче от проводника, а векторът $\scriptstyle {\mathrm {d} \mathbf {l} }$ сочи в посока на тока,

$\scriptstyle {\mathbf {r} }$ е радиус-векторът на точката, в която се създава магнитното поле,

$\scriptstyle {\mathbf {r} '}$ е радиус-векторът на безкрайно малкото парче проводник.

Ако се използва връзката между тока $\scriptstyle {I}$ и плътността му $\scriptstyle {\mathbf {j} }$:

$I\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {l}}={\overrightarrow {v}}\cdot \mathrm {d} q={\overrightarrow {v}}\cdot \rho \cdot \mathrm {d} V={\overrightarrow {j}}\cdot \mathrm {d} V,$

законът може да се представи и като интеграл по обема:

${\overrightarrow {B}}({\overrightarrow {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\overrightarrow {j}}({\overrightarrow {r}}')\times {\frac {{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}'}{|{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}'|^{3}}}\;\mathrm {d} {V'}.$

В повечето случаи е удобно да се работи само с едни радиус-вектор. В такъв случай, можете да заместите $\scriptstyle {\mathbf {r} '=0}$ без да нарушите валидността на закона. Също така можете да изразите $\scriptstyle {\mathbf {r} }$ чрез единичния вектор $\scriptstyle {\hat {\mathbf {r} }}$:

${\frac {\overrightarrow {r}}{r^{3}}}={\frac {\overrightarrow {\hat {r}}}{r^{2}}}.$

Всичките тези формулировки са математически еквивалентни, просто в различните ситуации някои ще Ви се сторят по-подходящи от други.

Приложение

Магнитно поле на движещ се точков заряд

Магнитното поле, което създава точков заряд, движещ се с постоянна и нералитивистка скорост, се смята по следната формула:

${\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\cdot {\frac {q\cdot {\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {\hat {r}}}}{r^{2}}}.$

В случая просто е използвана връзката между тока и скоростта на заряда, показана по-горе.

Безкрайно дълъг прав проводник

В триизмерното пространство за векторното произведение важи следното:

$\mathrm {d} \!{\overrightarrow {l}}\times {\overrightarrow {r}}=\mathrm {d} l\cdot r\sin \phi =\mathrm {d} l\cdot r\cos \theta .$

Също така:

${\frac {a}{r}}=\cos \theta \Rightarrow r={\frac {a}{\cos \theta }};$

${\frac {l}{a}}=\tan \theta \Rightarrow \mathrm {d} l=a\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }}.$

При заместване в израза за магнитното поле се получава:

${\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }I\cdot \mathrm {d} \!{\overrightarrow {l}}\times {\frac {\overrightarrow {r}}{|{\overrightarrow {r}}^{3}|}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \limits _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}I\cdot \ {\frac {\mathrm {d} l\cdot r\cos \theta }{r^{3}}}=$

$={\frac {\mu _{0}\cdot I}{4\pi }}\int \limits _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {a\cos \theta \mathrm {d} \theta }{r^{2}\cos ^{2}\theta }}={\frac {\mu _{0}\cdot I}{4\pi }}\int \limits _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {a\cos ^{3}\theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\cos ^{2}\theta }}={\frac {\mu _{0}\cdot I}{4\pi \cdot a}}\int \limits _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}\cos \theta \mathrm {d} \theta .$

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник е:

$B={\frac {\mu _{0}\cdot I}{2\pi \cdot a}}$

Посока на полето се определя по правилото на дясната ръка.

Прав проводник с крайна дължина

Този случай е аналогичен на предишния, само че се интергрира от $\theta _{1}$ до $\theta _{2}$:

$B={\frac {\mu _{0}\cdot I}{4\pi \cdot a}}\cdot (\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})$

Кръгла проводяща рамка

Магнитното поле по оста на симетрия $z$ e:

$B_{z}=\int |\mathrm {d} {\vec {B}}|\cdot \cos \alpha ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {I\mathrm {d} l}{r^{3}}}\cdot \underbrace {r\sin \alpha } _{R}={\frac {\mu _{0}\cdot I\cdot 2\pi \cdot R\cdot R}{4\pi \cdot r^{3}}}={\frac {\mu _{0}\cdot I\cdot R^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{\frac {3}{2}}}}.$

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Biot-Savart law“ и страницата „Biot-Savart-Gesetz“ в Уикипедия на английски и немски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на техните съавтори. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.