Дроб (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на дроб.

Дроби са числа, които представят части от една цяла единица. Всяко рационално число може да се представи във вид на обикновена, крайна или на безкрайна периодична дроб. Безкрайните непериодични дроби представляват ирационалните числа.

Една четвърт от торта е изядена. Остават

\textstyle {\frac {3}{4}}

.

Видове дробиРедактиране

Обикновена дробРедактиране

Обикновените дроби са числата във вида $\textstyle {r={\frac {m}{n}}}$ , където $\textstyle {n\neq 0}$ . При тези означения $\textstyle {n}$ е знаменател, който показва на колко части е разделена единицата, а $\textstyle {m}$ е числител, който показва колко от тези части са взети.

Отношението на обикновените дроби се записва разделено от дробна черта, която типографски може да е хоризонтална или дясно наклонена диагонална (предпочитана в англосаксонските страни).^[1]

Когато дробната черта е хоризонтална, за прегледност и коректност на записа всички аритметични знаци и равенството трябва да се изписват на нивото на дробната черта. Отново за прегледност цифрите в дробите обикновено се изписват с по-малък шрифт, отколкото този на целите числа. Това си личи особено при записа на смесена дроб, например: $\textstyle {1{\frac {1}{2}}}$ .

Когато $\textstyle {m<n}$ , дробта се нарича правилна, а когато $\textstyle {m\geq n}$ – неправилна.

Аликвотна дробРедактиране

Основна статия: Аликвотна дроб

Дробите с числител 1 се наричат аликвотни. За тях важи теоремата, че всяко положително рационално число може да се представи като крайна сума на аликвотни дроби с различни знаменатели.^[2]

Десетична дробРедактиране

Десетичните дроби са числа, които в десетична бройна система се представят чрез цифри отдясно на десетична запетая. Обърнати в обикновени дроби, десетичните винаги имат за знаменател степен на числото 10.

Всяка обикновена дроб може да се представи като десетична. Например:

$\textstyle {{\frac {7}{20}}={\frac {35}{100}}=0,35}$ е пример за крайна, а $\textstyle {{\frac {2}{7}}=0,28571428...}$ – пример за безкрайна дроб.

Когато при делението се появи число, което веднъж вече е било остатък, тогава цифрите в резултата започват да се повтарят, т.е. дробта $\textstyle {\frac {2}{7}}$ е безкрайна периодична дроб. Записва се още като: $\textstyle {0,(285714)}$ .

Аритметика с дробиРедактиране

Дробите, както и целите числа, се подчиняват на комутативния, асоциативния и дистрибутивния закон на аритметиката, както и на правилото, че не се дели на нула.

СъбиранеРедактиране

Сумата на обикновени дроби с равни знаменатели дава нова обикновена дроб със същия знаменател и числител – сумата на числителите на събираемите. Например: $\textstyle {{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{4}}={\frac {5}{4}}=1{\frac {1}{4}}}$ .

Когато събираемите са с различни знаменатели, първо трябва да се пристъпи към привеждане под общ знаменател. Тъй като при умножението на числителя и знаменателя на дадена дроб с произволно число, стойността на дробта не се променя, трябва да открием такова число, което да изравни знаменателите. За целта се намира най-малко общо кратно на знаменателите (когато знаменателите са взаимнопрости числа, най-малкото общо кратно е произведението на всички знаменатели). След умножение на числителя и знаменателя на всяка дроб със съответното число, така че знаменателите да са равни, се пристъпва към събиране. Например: $\textstyle {{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}={\frac {20}{60}}+{\frac {15}{60}}+{\frac {12}{60}}={\frac {47}{60}}}$ . Изказано по друг начин: $\textstyle {{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$ .

Процедурата с изваждането е аналогична.

УмножениеРедактиране

При умножение на дроби числителят и знаменателят на едната дроб се умножават съответно с числителя и знаменателя на другата дроб.

ДелениеРедактиране

Да се дели на обикновена дроб означава да се умножава с реципрочната ѝ, така нареченото „умножаване на кръст“, което най-лесно се илюстрира така $\textstyle {{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$

История на дробитеРедактиране

Във всички езици понятието за дробно число се обозначава с думи със същия корен като „раздробявам“, „разчупвам“; на латински „дроб“ е fractura, което е производно от frango („разбивам“, „начупвам“).

Първи с понятието за дроб са боравили арабите, а в европейската математика е въведено в началото на 13 век от Фибоначи. Названията „числител“ и „знаменател“ се срещат у Максим Планут в края на 13 век. През 1558 г. Траншан въвежда „обикновената“ дроб (fractura vulgaris), унгарецът Зегнер въвежда термините „правилна“ и „неправилна дроб“.

Първото писмено свидетелство за привеждане под общ знаменател е открито у Региомонтан в негова работа от 1464 г., а най-малък общ знаменател започва да се търси едва през втората половина на 16 век, след трудовете на Николо Тарталия (1556) и Христофор Клавий (1538).

Десетичните дроби от своя страна получават широко разпространение в края на 16 век след отпечатването на книгата „De Thiende“ („Десетата“) на фламандския инженер Симон Стевин (1585). Превръщането на обикновени дроби в десетични и обратно се разглежда от Кавалиери през 1643 г.

Верижните дроби са били известни на индийските математици от 12 век, срещат се у Бомбели в негов труд от 1572 г. Над елементарната теория на верижните дроби работят Ойлер, Хюйгенс и Уолис, който въвежда термина „fractio continua“.

Самите записи на дробите също са се различавали съществено през вековете. Пизански въвежда дробната черта, вероятно заимствайки я от арабите. Въпреки това в средата на 17 век продължават да се срещат математици, които не я ползват (Мерсен, 1644). Десетичната запетая е въведена от италианския астроном Джовани Антонио Маджини (1555 – 1617)^[3], а по-късно отново лансирана от Непер. Дотогава е била използвана вертикална черта, нула в скобки или различни мастила: черно за цялата част и червено за дробната. Съвременният запис на верижните дроби е въведен от Лайбниц през 1696 и Хюйгенс през 1698 г.^[4]

Символи за дроби в УникодРедактиране

Стандартът Уникод версия 6.0 включва 19 символи, изобразяващи дроби.^[5] Съответните глифове може да бъдат както ко̀си, така и вертикални, в зависимост от шрифта.^[6]

символ	номер	значение	символ	номер	значение
¼	U+00BC	1/4	⅗	U+2157	3/5
½	U+00BD	1/2	⅘	U+2158	4/5
¾	U+00BE	3/4	⅙	U+2159	1/6
⅐	U+2150	1/7	⅚	U+215A	5/6
⅑	U+2151	1/9	⅛	U+215B	1/8
⅒	U+2152	1/10	⅜	U+215C	3/8
⅓	U+2153	1/3	⅝	U+215D	5/8
⅔	U+2154	2/3	⅞	U+215E	7/8
⅕	U+2155	1/5	↉	U+2189	0/3
⅖	U+2156	2/5

Символът 0/3 (↉) е включен в стандарта, тъй като се използва в бейзбола.^[7]

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

↑ „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
↑ „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
↑ „История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник“, Александрова Н. В., ISBN 978-5-382-00839-4
↑ „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
↑ NamesList.txt
↑ The Unicode Standard v. 5.2, глава 15.3 Number Forms
↑ «used in baseball scoring, from ARIB STD B24» NamesList.txt

[1] „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

[2] „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х

[3] „История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник“, Александрова Н. В., ISBN 978-5-382-00839-4

[4] „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

[5] NamesList.txt

[6] The Unicode Standard v. 5.2, глава 15.3 Number Forms

[7] «used in baseball scoring, from ARIB STD B24» NamesList.txt

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]