Имагинерна единица

В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с $i\,$ или латинското $j\,$ или гръцката буква (ι) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, $\mathbb {R}$, да бъде разширена до системата на комплексните числа, $\mathbb {C} .$ Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.

Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение $f(x)=0$ има реални решения. Например, уравнението $x^{2}+1=0$ няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение $f(x)=0$ има решение. (Виж затвореност.)

За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа.

Определение

По определение, имегинерната единица $i$ е едното решение (от две възможни) на квадратното уравнение

$x^{2}+1=0\$

или съответно

$x^{2}=-1\$.

Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна“ от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка.

Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i ² с −1. По-високите степени на $i$ също могат да бъдат заместени с −i, 1, $i$, или −1:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

i и −i

Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т.е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с $i$, стойността −$i$ (която не е равна на $i$) също е негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на $i$, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително $i$", ние не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −$i$ и $i$ не са количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между $i$ и −$i$ (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −$i$, се замести с +$i$ (и следователно на всяко място, където се появява −$i$, се замести с −(−$i$) = +$i$), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена $x$ в уравнението $x^{2}+1=0$ с означаването на единия от тях като „положителен“ е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че е по-първостепенен или фундаментален от другия.

Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X² + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен изоморфизъм – съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X² + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа.

Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както

$X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}$

така и

$X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}$

са решения на матричното уравнение

$X^{2}=-I\$.

В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя „посока“ около единичната окръжност е „положителната“ ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента – идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.

Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.

Прецизна употреба

Имагинерната единица понякога бива означавана като ${\sqrt {-1}}$; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа $x$ ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$ (погрешно)

Правилото

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

е валидно само за реални, неотрицателни стойности на $a$ и $b$.

За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида ${\sqrt {-7}}$ например, прецизният запис налага да запишем $i{\sqrt {7}}$. Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.

Корен квадратен от имагинерна единица

Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа :

$\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)$

Това лесно може да бъде доказано:

$\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\right)^{2}\$	$=\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	$=(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\$
	$={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\$
	$=i\$

Степени на i

Степените на $i$ се повтарят циклично:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i\,$

В случая n е произволно избрано цяло число.

Оттук следва изводът, че

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$.

i и формулата на Ойлер

Формулата на Ойлер гласи:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$,

където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x.

Замествайки $x=\pi$, получаваме

$e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,$

и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер:

$e^{i\pi }+1=0\,$.

Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен.

Пример

Заместването на $x=\pi /2-2N\pi ,$, където N е произволно избрано цяло число, дава

$e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i\,$

Или, повдигайки всяка от страните на степен $i$,

$e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$

или

$e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$,

което показва, че $i^{i}\,$ има безкраен брой елементи от вида

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,$

където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения.

Действия с i

Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с $i$, като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции.

Число, повдигнато на степен $ni$, дава:

$\!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n}))$

Корен $ni$^ти от число е:

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))$

Логаритъм при основа $i$ от число е:

$\log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }$

Косинусът на $i$ е реално число:

$\cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1.54308064$

Синусът на $i$ е имагинерен:

$\sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1.17520119\,i$

Алтернативни означения

• В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като $j\,$ за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с $i(t)\,$ или просто $i.\,$ Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица.
• По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x $e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,$).
• Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.

Вижте също

• Имагинерно число
• Комплексна равнина

Външни препратки

• ((en)) Трудът на Ойлер върху имагинерните корени на полиномите

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Imaginary unit в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​