Интегриране по части

Интегриране по части в диференциалното и интегрално смятане или най-вече в математическия анализ е един от методите на интегриране (или правилата), по които се решава даден интеграл.

Ако подинтегралната функция представлява произведение на две непрекъснати и диференцируеми функции, то тогава:

при неопределен интеграл:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

при определен интеграл:

$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$

Доказателство:

Нека $u(x)$ и $v(x)$ са две непрекъснати диференцируеми функции. Тогава:

${d \over dx}[u(x)v(x)]=v(x){d \over dx}(u(x))+u(x){d \over dx}(v(x))$ (правило за произведенията)

Интегрираме двете страни на уравнението спрямо $x$,

$\int {d \over dx}[u(x)v(x)]dx=\int v(x)u'(x)dx+\int u(x)v'(x)dx$

По Фундаменталната теорема на анализа получаваме, че:

$u(x)v(x)=\int v(x)u'(x)dx+\int u(x)v'(x)dx$

И след пренареждане се получава,

$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx\Rightarrow$

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

Външни препратки

• Integration by Parts - From MathWorld
• Tabular Integration by Parts
• Tabular Integration by Parts Demonstrated Архив на оригинала от 2007-03-10 в Wayback Machine.