Конюнкция

Конюнкцията $\scriptstyle A\land B$ представена чрез диаграмите на Вен като сечение на множества: нещата, които са както А, така и В

Конюнкция се нарича както едно сложно изречение, възникнало от свързването на две и повече изречения чрез съюза "и" (които в случая са негови "подизречения", наричани "конюнкти"), така и самият съюз "и", разбиран в смисъла на логическа частица или логически оператор, който създава следната истинностно-функционална зависимост: едно конюнктивно изречение е истинно (има стойност по истинност И), когато всички негови подизречения са истинни, и неистинно (има стойност по истинност Н), когато поне едно от тях е неистинно. За да се различават конюнкцията в смисъла на специфичен вид сложно изречение и конюнкцията в смисъла на логически оператор, някои автори запазват думата "конюнкция" само за сложното изречение и използват за оператора термина "конюнктор". Символният израз на конюнктора е знакът $\land$. Условията за истинност на една конюнкция $p\land q$ между изреченията $p$ и $q$ могат да се посочат чрез следната таблица:

аргумени		функция
$p$	$q$	$p$$\land$$q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

където колонките под $p$ и $q$ показват във всеки ред съответното разпределение на техните стойности по истинност, а колонката под $p\land q$ показва във всеки ред каква е стойността по истинност на $p\land q$ за съответното разпределение на стойностите по истинност на $p$ и $q$. За една двуместна конюнкция възможните комбинации на стойностите по истинност на $p$ и $q$ са четири. Затова и $p\land q$ получава стойност по истинност в четири случая. Огледалната операция на конюнкцията $\land$ е дизюнкцията $\lor$.

Заключенията, които се получават въз основа на значението на конюнктора, се изследват в пропозиционалната логика. $\land$ е логическа константа в езика на пропозиционалната логика.

Пример за конюнктивно изречение е: "Слънцето е изгряло и небето е облачно" (изразено с конюнктора: "Слънцето е изгряло $\land$ небето е облачно") с подизречения "Слънцето е изгряло" и "небето е облачно".

Пример за конюнкция е и следното аритметичното твърдение „$n$ е четно и по-голямо от 5“, във формален запис:

$\exists x(x\in \mathbb {Z} \land n=2.x)\land n>5$

($n$ е равно на удвояването на едно цяло число $\land$ $n$ е по-голямо от 5).

Теория на множествата

В математиката конюнкция се нарича сечението на две множества. Тя е резултантното множество, състоящо се от елементите принадлежащи едновременно и на двете множества.

Конюнкцията на множества се отбелязва със символа ∩. Конюнкцията на A и B се записва „A ∩ B“. Формално:

x е елемент на A ∩ B ако и само ако

• x е елемент A и
• x е елемент от B.

A∩B = {x|(x∈A)∧(x∈B)}

Например:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø

Конюнкцията притежава свойствата комутативност и асоциативност:

• A ∩ B = B ∩ A;
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

Например: A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D))

Основната идея за конюнкцията е пресичане на случаен(произволен) не-празен сбор от множества.

Ако M е едно непразно множество, чиито елементи сами по себе си са множества, тогава x е елемент на конюнкиция на M ако и само ако за всеки елемент A от M, x е елемент на A. В символи:

$\left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} .\ x\in A\right).$

Идеята, която включва горното е че, например, A ∩ B ∩ C е конюнкция на множеството {A,B,C}.

Нотацията на последната концепция може да варира значително. Теоретиците на множества ще пишат понякога „∩M“, докато други ще пишат вместо това „∩_{A${\in }$M} A“. Втората може да се генерализира като „∩ _{i${\in }$I} A_i“, което се отнася до конюнкцията на сбора {A_i : i ${\in }$ I}. Тук I е не-празно множество, и A_i е множество за всеки i в I.

Вижте също

• Дизюнкция
• Импликация