Критерий за устойчивост на Михайлов

Критерият за устойчивост на Михайлов е един от начините за анализ на устойчивостта на линейна стационарна динамична система. Заедно с критерия за устойчивост на Найкуист е от групата на честотните критерии за устойчивост, за разлика от алгебричните критерии за устойчивост като критерия на Раус и критерия на Хурвиц.

Критерият за устойчивост на Михайлов е предложен през 1938 г. от А. В. Михайлов и е доста удобен за анализ на линейни системи, особено от висок порядък. Оценката на устойчивостта на системата по този критерий се извършва въз основа на построената графика на амплитудно-фазово-честотната характеристика (ходограф на Михайлов).

ФормулировкаРедактиране

В характеристичния полином на затворена система

 

се замества  , където ω  е ъгловата честота на трептенията, които съответстват на имагинерния корен на характеристичното уравнение  :

 

Реалната и имагинерната части на полинома са:

 

 

На всяка честота   съответства точка от комплексната равнина с координати   и  , която е връх на вектора  , който започва от началото на координатната система [0 ; 0]. При изменение на честотата от 0 до ∞ върхът на вектора описва линия, наречена ходограф на Михайлов. [1]

Критерий на Михайлов:

За да бъде устойчива линейна система от  -ти ред, е необходимо и достатъчно при изменение на честотата   от 0 до ∞, честотният ходограф на Михайлов, построен от всички точки с координати  , започвайки от положителната реална полуос на комплексната равнина, да преминава последователно през   координатни квадранта без да става равен на 0.

 

 

Следствие на Михайлов:

За да бъде устойчива линейна система от  -ти ред, е необходимо и достатъчно при изменение на честотата   от 0 до ∞, векторът на честотния ходограф на Михайлов  , започвайки от положителната реална полуос на комплексната равнина, да се върти в една посока като описва ъгъл   без да става равен на 0.

Известни са обобщения на критерия за системи за автоматично управление със закъснение, за импулсни системи, както и аналози на този критерий за нелинейни системи за автоматично регулиране.

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

ЛитератураРедактиране

  • Михайлов А. В. – Метод гармонического анализа в теории регулирования – „Автоматика и телемеханика“, 1938, № 3, с. 27−81.
  • Іванов А. О. –  Теорія автоматичного керування: Підручник.  – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет , 2003 , 250 с.
  • Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2.  – К.: Головна редакція УРЕ, 1973 , 584 с.
  • Эльсгольц Л. Э. – Математические основы теории управляемых систем – М., 1969.
  • Блакьер О. – Анализ нелинейных систем – пер. с англ., М., 1969.
  • Кубрак А. І.  – Комп'ютерне моделювання та ідентифікація автоматичних систем – Київ, „Політехніка“, 2004.

Външни препраткиРедактиране