Критерий за устойчивост на Михайлов

Критерият за устойчивост на Михайлов е един от начините за анализ на устойчивостта на линейна стационарна динамична система. Заедно с критерия за устойчивост на Найкуист е от групата на честотните критерии за устойчивост, за разлика от алгебричните критерии за устойчивост като критерия на Раус и критерия на Хурвиц.

Критерият за устойчивост на Михайлов е предложен през 1938 г. от А. В. Михайлов и е доста удобен за анализ на линейни системи, особено от висок порядък. Оценката на устойчивостта на системата по този критерий се извършва въз основа на построената графика на амплитудно-фазово-честотната характеристика (ходограф на Михайлов).

Формулировка

В характеристичния полином на затворена система

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}$

се замества $p=j\omega$, където ω  е ъгловата честота на трептенията, които съответстват на имагинерния корен на характеристичното уравнение $D(p)=0$:

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{j\psi (\omega )}$

Реалната и имагинерната части на полинома са:

$X(\omega )=a_{n}-a_{n-2}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{n-1}\omega -a_{n-3}\omega ^{3}+...$

На всяка честота $\omega$ съответства точка от комплексната равнина с координати $X(\omega )$ и $Y(\omega )$, която е връх на вектора $D(j\omega )$, който започва от началото на координатната система [0 ; 0]. При изменение на честотата от 0 до ∞ върхът на вектора описва линия, наречена ходограф на Михайлов.

Критерий на Михайлов:

„

За да бъде устойчива линейна система от $n$-ти ред, е необходимо и достатъчно при изменение на честотата $\omega$ от 0 до ∞, честотният ходограф на Михайлов, построен от всички точки с координати $X(\omega ),Y(\omega )$, започвайки от положителната реална полуос на комплексната равнина, да преминава последователно през $n$ координатни квадранта без да става равен на 0.

“

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n})$

Следствие на Михайлов:

„

За да бъде устойчива линейна система от $n$-ти ред, е необходимо и достатъчно при изменение на честотата $\omega$ от 0 до ∞, векторът на честотния ходограф на Михайлов $D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )$, започвайки от положителната реална полуос на комплексната равнина, да се върти в една посока като описва ъгъл $n.\pi$ без да става равен на 0.

“

Известни са обобщения на критерия за системи за автоматично управление със закъснение, за импулсни системи, както и аналози на този критерий за нелинейни системи за автоматично регулиране.

Вижте също

• Критерий за устойчивост на Найкуист
• Критерий за абсолютна устойчивост на В. М. Попов
• Критерий за устойчивост на Раус
• Критерий за устойчивост на Хурвиц

Литература

• Михайлов А. В. – Метод гармонического анализа в теории регулирования – „Автоматика и телемеханика“, 1938, № 3, с. 27−81.
• Іванов А. О. –  Теорія автоматичного керування: Підручник.  – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет , 2003 , 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2.  – К.: Головна редакція УРЕ, 1973 , 584 с.
• Эльсгольц Л. Э. – Математические основы теории управляемых систем – М., 1969.
• Блакьер О. – Анализ нелинейных систем – пер. с англ., М., 1969.
• Кубрак А. І.  – Комп'ютерне моделювання та ідентифікація автоматичних систем – Київ, „Політехніка“, 2004.

Външни препратки

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.