Матрица (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица), наричани елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти.[1] Те могат да бъдат от произволно поле (например или ) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности.[2] Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

Означение на елементите в матрица m × n

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

Математическа нотацияРедактиране

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – aik или Aik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и  

Елементи на матрицитеРедактиране

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

 

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

 

Видове матрициРедактиране

Най-често се използват матрици с елементи от полето   и  . В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

  • нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

 
  • квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

 
  • правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

 
  • триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

 
  • диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

 
  • скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

 
  • единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

 
  • еднакви матрици – когато  , тоест съответните им елементи са равни.[1]
  • симетрична матрица – квадратна матрица  , за която е изпълнено  :

 
  • антисиметрична матрица – квадратна матрица  , за която е изпълнено  :

 

Елементарни преобразувания с матрициРедактиране

  • смяна на местата на два реда:

 
  • прибявяне на един ред на матрица към друг:

 
  • умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

 

Основни операции с матрициРедактиране

ТранспониранеРедактиране

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

 

СъбиранеРедактиране

Събират се само матрици от един и същи ред.[1] Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

 

Свойства:[1]

  • комутативност:  
  • асоциативност:  
  • дистрибутивност:  ,  
  • неутралност на нулевата матрица:  
  •  , където A и B са еднакви матрици
  • противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила  
  • разликата на матриците А и В е матрицата  , като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест  :

 

Умножение на матрица с число (скалар)Редактиране

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:[1]

 

Свойства:

  •  
  • ако  , то  
  • ако А и В са еднакви матрици, то  

Умножение на матрициРедактиране

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

 
.

Тоест всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

 

Свойства:

  • две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
  • комуникативност – не е в сила за произволни матрици
  • асоциативност:  
  • дистрибутивност:  

РангРедактиране

При дадена произволна матрица   с размерност   можем да разгледаме нейните редове като n-мерни вектори:

 

 

 

 ,

а колоните ѝ – като m-мерни вектори:

 ,      .

Размерността   на подпространоството (в повечето случаи подпоространство на   или  )   се нарича хоризонтален, или ред-ранг на матрицата  , а размерността   на подпространостното   – вертикален, или стълб-ранг на матрицата.[3]

ДетерминантаРедактиране

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

 ,

където сумата е по всички пермутации (k1k2 … kn) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация –  , при  .

В сила е нотацията  .

Ако детерминантата на матрицата е различна от 0 (редовете ѝ са линейно независими), матрицата е линейно преобразувание. Нейно харктеристично уравнение е  

Пресмятане на детерминантаРедактиране

За детерминанта от първи ред:

 

За детерминанта от втори ред:

 

За детерминанта от трети ред:

 

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

 

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

ИзточнициРедактиране

  1. а б в г д Латка, Франтишек. Минисправочник по математика. София, Регалия 6, 1992. ISBN 954-8147-02-5. с. 36 – 42.
  2. Каменаров, Георги. Справочник Висша математика. София, Техника, 1994. ISBN 954-03-0352-4. с. 65 – 104.
  3. Тонов, Иван. Матрици и детелминанти. София, Народна просвета, 1980. с. 54 – 69.

Външни препраткиРедактиране