Множество на Манделброт

Множеството на Манделброт е множество от комплексни числа , за което функцията не е разходяща при итерация с , тоест за която редицата , остава ограничена по абсолютна стойност. Кръстена е в чест на математика Беноа Манделброт.[1] Множеството има връзка с множеството на Жулиа, тъй като и двете множества образуват сложни фрактални фигури.

Множеството на Манделброт (в черно).
Увеличение върху множеството на Манделброт.

Изображения на множеството на Манделброт могат да се създадат чрез тестване на комплексни числа дали редицата за всяка точка е разходяща до безкрайност. Нанасянето на реалната и имагинерната част на като координати върху комплексната равнина позволява да се оцветят пикселите според това колко бързо редицата преминава даден произволно избран праг с определен цвят (обикновено черен) за стойностите на , за които редицата не преминава въпросния праг след предварително зададен брой итерации. Оцветяването на останалите точки, непринадлежащи на множеството, се определя от степента, с която получената от тях редица достига определена граница, отвъд която няма елементи на множеството. Ако се поддържа константа, а първоначалната стойност на () стане променлива, се получава съответното множество на Жулиа за всяка точка на функцията.

Изображенията на множеството на Манделброт показват подробна и безкрайно сложна граница, която разкрива прогресивно по-фини рекурсивни детайли при увеличаване. Стилът на повтарящите се детайли зависи от областта на множеството, която се изследва. Границата на множеството, също така, включва по-малки варианти на главната форма, така че фракталното свойство на самоподобието важи за цялото множество, а не само за частите му.

Точната площ на множеството на Манделброт не е известна. Към 2012 г. тя е изчислена на приблизително 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точната координата на центъра на масите също не е известна и е оценена на −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9.[2] Увеличените изображения на множеството показват, че той има безкрайна дълбочина.[3]

Множеството на Манделброт е популярно и извън областта на математиката, както поради естетическата си привлекателност, така и като пример за сложна структура, появяваща се от прилагането на прости правила.

ИсторияРедактиране

Множеството на Манделброт произлиза от комплексната динамика – област, за пръв път изследвана от френските математици Пиер Фату и Гастон Жулиа в началото на 20 век. Този фрактал за пръв път е определен и нарисуван през 1978 г. от Робътр Брукс и Питър Мателски като част от проучване върху Клайновите групи.[4] На 1 март 1980 г. в изследователски център на IBM Беноа Манделброт за пръв път визуализира множеството.[5] По това време Манделброт изучава параметричното пространство на квадратните полиноми.[6] В действителност, математическото изследване на множеството започва с работата на математиците Адриен Дуади и Джон Хъбард,[1] които установяват много от фундаменталните му свойства и го кръщават в чест на Манделброт като признание за влиятелната му работа в областта на фракталната геометрия.

Математиците Хайнц-Ото Пайтген и Петер Рихтер популяризират множеството с фотографии, книги[7] и международна изложба към германския Гьоте-институт.[8][9]

Главната статия на списанието Scientific American от август 1985 г. въвежда широката публика в алгоритъма за изчисляване на множеството на Манделбор. Корицата на броя включва изображение на -0.909 + -0.275 и е създадена от Пайтген и колектив.[10][11] Към средата на 1980-те години множеството става известно като компютърно графично демо, когато персоналните компютри стават достатъчно мощни, за да начертаят графиката и да изобразят множеството във висока резолюция.[12]

Формално определениеРедактиране

Множеството на Манделброт е множеството от стойности на c в комплексната равнина, за които итеративното прилагане на полином над начална стойност 0 води до ограничена редица:[13][3]

 

Следователно, дадено комплексно число c е елемент на множеството на Манделброт, когато започвайки с z0 = 0 и прилагайки повтаряща се итерация, абсолютната стойност на zn остава ограничена за всички n>0.

Така например, за c=1, редицата е 0, 1, 2, 5, 26, ..., което в крайна сметка води до безкрайност, така че 1 не е елемент на множеството на Манделброт. От друга страна, за c=−1, редицата е 0, −1, 0, −1, 0, ... – очевидно ограничена, така че −1 принадлежи към множеството на Манделброт.

Множеството на Манделброт е компактно множество, тъй като е затворено и ограничено в окръжност с радиус 2 около началото на координатната система. По-конкретно, точка   принадлежи към множеството на Манделброт тогава и само тогава, когато

  за всички  

С други думи, ако абсолютната стойност на   превиши 2, редицата винаги ще е разходяща към безкрайност.

ГалерияРедактиране

Следващите примери на увеличение върху дадена стойност на c създават впечатление за безкрайното богатство на различни геометрични структури и обясняват някои от техните типични правила. Увеличението на последното изображение спрямо първото е около 1010 към 1. Съпоставено спрямо обикновен компютърен монитор, това представлява отрязък от множество на Манделброт с диаметър от 4 милиона километра.

ИзточнициРедактиране

  1. а б Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  2. Pixel Counting
  3. а б Павел Бойчев. Наука и изкуство: История на взаимно вдъхновение. // БАН, април 2010.
  4. Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in Irwin Kra. Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. Princeton University Press, 1 May 1981. ISBN 0-691-08267-7.
  5. R.P. Taylor & J.C. Sprott. Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers. // Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, 2008. Посетен на 1 януари 2009.
  6. Benoit Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of   for complex  , Annals of the New York Academy of Sciences 357, 249/259
  7. Peitgen, Heinz-Otto. The Beauty of Fractals. Heidelberg, Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-15851-0.
  8. Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. since 1985 shown in over 40 countries.
  9. Gleick, James. Chaos: Making a New Science. London, Cardinal, 1987. с. 229.
  10. Dewdney, A. K.. Computer Recreations, August 1985; A computer microscope zooms in for a look at the most complex object in mathematics. // Scientific American, 1985.
  11. John Briggs. Fractals: The Patterns of Chaos. 1992. с. 80.
  12. Pountain, Dick. Turbocharging Mandelbrot. // Byte. септември 1986.
  13. Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary. // Посетен на 7 октомври 2007.