Неравенство на Йенсен

Необходимо и дотатъчно условие една функция $f(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ да е изпъкнала в интервала $I$ е за всеки набор от $n$ числа $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in I$ да е изпълнено за някакви $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ със сума $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=1$, че

$$a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+\cdots +a_{n}f(x_{n})\geq f\left(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\right)$$

Доказателство: При $n=2$ получаваме критерия за изпъкналост по дефиниция.

Ако твърденито е вярно за $n-1$ тогава $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}=1$. Нека $a_{n-1}=a_{n-1}'+a_{n}'$. Следователно последователно получаваме:

$$a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{n-1}'f(x_{n})+a_{n}'f(x_{n-1})\geq a_{1}f(x_{1})+\cdots +(a_{n-1}'+a_{n}')f\left({\frac {a_{n-1}'x_{n-1}+a_{n}'x_{n}}{a_{n-1}'+a_{n}'}}\right)=$$

$$=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+\cdots +a_{n-1}f\left({\frac {a_{n-1}'x_{n-1}+a_{n}'x_{n}}{a_{n-1}}}\right)\geq f\left(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n-1}{\frac {a_{n-1}'x_{n-1}+a_{n}'x_{n}}{a_{n-1}}}\right)=$$

$$=f\left(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n-1}'x_{n-1}+a_{n}'x_{n}\right)$$

Следователно неравенството следва по индукция.

Алтернативно доказателство може да се извърши и като използваме тегловата форма на неравенството на Карамата.

Вижте също

• Неравенство на Карамата