Обикновено диференциално уравнение

Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.[1] Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.[2]

Определение за ОДУ от -ти редРедактиране

Уравнение от вида  , където   е независима променлива,   е неизвестна функция, а   са нейните производни до ред  , се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от  -ти ред.[3]

Хомогенни диференциални уравненияРедактиране

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

 ,

където   и   могат да са функции на   или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение  -тата производна спрямо   се обозначава с  .

Ползвайки този оператор   горното диференциално уравнение може да се запише като:

 

Ако  , горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако  , уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори редРедактиране

 
При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

 
 
 
 

Забележете че   има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с   можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид:   =>  

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:  

Полагаме

 , където   е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

 
 

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

 
 
 

 

Заместваме полученият резултат за z в

 

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

 

 

 

 

 

интегрираме и получаваме следното решение:

 

Преобразуваме:

 

Когато   и   са реални числа, решението за функцията   е:

 

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  1. Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning, 15 март 2012. ISBN 1-285-40110-7.
  2. What is the origin of the term „ordinary differential equations“?. // Stack Exchange. Посетен на 28 юли 2016.
  3. Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009