Ойлеровата права или правата на Ойлер е права във всеки триъгълник, определена от центъра на описаната около триъгълника окръжност (пресечна точка на симетралите), медицентъра (пресечната точка на медианите) и ортоцентъра (пресечната точка на височините), които при стандартните означения за триъгълник са съответно О, G и Н.[1]

Ойлеровата права е в червено и преминава през пресечената точка на височините H (начертани в синьо), на медианите G (в светлозелено) и на симетралите (в оранжево) O.

ДоказателствоРедактиране

За да се докаже, че трите точки лежат на една права, е необходимо да се покаже, че  . От теоремата на Хамилтон следва, че

 

От друга страна, за произволна точка е в сила равенството (вж. медицентър):

 

От   и   се стига до извода, че

 .

С това се доказва, че точките  ,   и   лежат на една права.

СвойстваРедактиране

  • Освен че трите точки  ,   и   лежат на една права, в сила е и съотношението  .
  • Ако Ойлеровата права минава през връх на триъгълника, то той е равнобедрен и/или правоъгълен (като едното не изключва другото).
  • На Ойлеровата права лежи центърът   на окръжността на Фойербах (още наречена „окръжност на деветте точки“).[1] В сила са съотношенията:  ,  ,  . [2]
  • Също така, на Ойлеровата права лежи точката на Лоншан, дефинирана като ортоцентър на антикомплементарния на дадения триъгълник. [2]

ИзточнициРедактиране

  1. а б „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х, стр. 196
  2. а б Euler Line, Wolfram Mathematics