Паралелепипед (от гръцки: παράλλος – паралелен; επιπεδον – плоскост) е геометрично тяло с шест стени и дванадесет ръба, които са два по два успоредни, и осем върха. Той е частен случай на четиристенна призма с основа успоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях – правоъгълен паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед – правоъгълници, а на куб – квадрати.

Правоъгълен паралелепипед

Първата известна употреба на наименованието е в ЕвклидовитеЕлементи“.

ОбемРедактиране

Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му.

 

Възможно е обемът да бъде изчислен с методите на векторното смятане: ако един от върховете бъде приет за начало на декартова координатна система и трите ръба, излизащи от върха, бъдат представени като вектори  ,   и  , то обемът е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на векторите  .

 
  • Доказателство:

Понеже   и  , то формулата за обем на паралелепипед придобива следният вид:  

СвойстваРедактиране

Някои геометрични свойства на паралелепипеда са:

  • паралелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал (следствие от централната симетрия на стените му);
    • всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда;
    • в частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка;
  • успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина;
  • успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ;
  • квадрата на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размерности (следствие от Питагоровата теорема).