Отваря главното меню

Преобразование на Фурие

Преобразувание на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразование на ФуриеРедактиране

Нека   е функция с период  , която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала  . С   означаваме банаховото пространство от функции  , за които е изпълнено  

Преобразованието на Фурие   се дефинира чрез интеграла  . Комплексното число   се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на  .

Преобразование на Фурие за n-мерно пространствоРедактиране

Нека   е функция от банаховото пространство  , което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху  . Преобразованието на Фурие се дефинира чрез интеграла  .

Ако разглеждаме функциите   от хилбертовото пространство  , т.е. всички фунцкии, за които  , можем да дефинираме преобразованието на Фурие като линеен оператор  , за който е изпълнено следното

  •  ,
  •  .

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразование на Фурие, дефинирано в  .

Преобразование на Фурие за обобщени функцииРедактиране

Нека  , а   е обобщена функция. Тогава преобразованието на Фурие   се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството  .

Свойства на коефициентите на ФуриеРедактиране

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

  •   за  ;
  •   за  ;
  •   за  ;
  • Ако означим  , то   (транслация се преобразува в модулация);
  • Ако означим  , то   (модулация се преобразува в транслация);
  •   (конволюция се преобразува в произведение);
  • Оценка на коефициентите:  

НепрекъснатостРедактиране

Ако   и  , то   клони равномерно към   за всяко n.

СходимостРедактиране

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция   е изпълнено  .