Преобразование на Фурие
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Преобразование на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.
Преобразование на ФуриеРедактиране
Нека е функция с период , която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала . С означаваме банаховото пространство от функции , за които е изпълнено
Преобразованието на Фурие се дефинира чрез интеграла . Комплексното число се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на .
Преобразование на Фурие за n-мерно пространствоРедактиране
Нека е функция от банаховото пространство , което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху . Преобразованието на Фурие се дефинира чрез интеграла .
Ако разглеждаме функциите от хилбертовото пространство , т.е. всички фунцкии, за които , можем да дефинираме преобразованието на Фурие като линеен оператор , за който е изпълнено следното
- ,
- .
Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразование на Фурие, дефинирано в .
Преобразование на Фурие за обобщени функцииРедактиране
Нека , а е обобщена функция. Тогава преобразованието на Фурие се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството .
Свойства на коефициентите на ФуриеРедактиране
Коефициентите на Фурие имат следните свойства:
- за ;
- за ;
- за ;
- Ако означим , то (транслация се преобразува в модулация);
- Ако означим , то (модулация се преобразува в транслация);
- (конволюция се преобразува в произведение);
- Оценка на коефициентите:
НепрекъснатостРедактиране
Ако и , то клони равномерно към за всяко n.
СходимостРедактиране
Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.
За всяка функция е изпълнено .