Преобразование на Фурие

Преобразование на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразование на Фурие

Нека $f$ е функция с период $2\pi$, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала $\mathbb {T} =[0,2\pi )$. С $L^{1}(\mathbb {T} )$ означаваме банаховото пространство от функции $f$, за които е изпълнено $\int _{0}^{2\pi }|f(t)|dt<\infty .$

Преобразованието на Фурие ${\hat {f}}$ се дефинира чрез интеграла ${\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-2\pi int}dt,n\in \mathbb {Z}$. Комплексното число ${\hat {f}}(n)$ се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на $f$.

Преобразование на Фурие за n-мерно пространство

Нека $f$ е функция от банаховото пространство $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху $\mathbb {R} ^{n}$. Преобразованието на Фурие се дефинира чрез интеграла ${\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)e^{-2\pi i\langle \omega ,t\rangle }$.

Ако разглеждаме функциите $f$ от хилбертовото пространство $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, т.е. всички фунцкии, за които $\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}dt<\infty$, можем да дефинираме преобразованието на Фурие като линеен оператор ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, за който е изпълнено следното

• ${\mathcal {F}}f={\hat {f}},f\in L^{1}\cap L^{2}$,
• $\|{\mathcal {F}}f\|_{L^{2}}=\|f\|_{L^{2}}$.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразование на Фурие, дефинирано в $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

Преобразование на Фурие за обобщени функции

Нека $f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$, а $\mu \in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ е обобщена функция. Тогава преобразованието на Фурие ${\hat {\mu }}$ се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството $\langle f,\mu \rangle =\langle {\hat {f}},{\hat {m}}\rangle$.

Свойства на коефициентите на Фурие

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

• ${\widehat {f+g}}(n)={\hat {f}}(n)+{\hat {g}}(n)$ за $f,g\in L^{1}(\mathbb {T} )$;
• ${\widehat {cf}}(n)=c{\hat {f}}(n)$ за $c\in \mathbb {C} ,f\in L^{1}(\mathbb {T} )$;
• ${\hat {\bar {f}}}(n)={\overline {{\hat {f}}(n)}}$ за $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$;
• Ако означим $f_{\tau }(t)=f(t-\tau ),\tau \in \mathbb {T}$, то ${\hat {f}}_{\tau }(n)={\hat {f}}(n)e^{-int}$ (транслация се преобразува в модулация);
• Ако означим $f^{m}(t)=e^{2\pi imt}f(t),m\in \mathbb {Z}$, то ${\hat {f}}^{m}(n)=f(n-m)$ (модулация се преобразува в транслация);
• ${\widehat {(f\ast g)}}(n)={\hat {f}}(n)\cdot {\hat {g}}(n)$ (конволюция се преобразува в произведение);
• Оценка на коефициентите: $|{\hat {f}}(n)|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }|f(t)|dt.$

Непрекъснатост

Ако $f_{j}\in L^{1}(\mathbb {T} ),j\in \mathbb {N}$ и $\|f_{j}-f_{0}\|_{L^{1}}\rightarrow 0$, то ${\hat {f}}_{j}(n)$ клони равномерно към ${\hat {f}}_{0}(n)$ за всяко n.

Сходимост

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ е изпълнено $\lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0$.