Разлика между версии на „Формула на Ойлер“

козметични промени
м (излишен празен ред)
(козметични промени)
:: <math>\sin</math> и <math>\cos</math> са [[тригонометрични функции]].
 
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика" (Feynman, p. 22-10).
 
Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл <math>\varphi</math>.
 
== Извод ==
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.:<ref>{{cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html
| title = Euler Formula
| publisher = [[MathWorld]]
| accessdate = 12 декември 2010
}}</ref>:
 
Нека z е [[комплексно число]] с модул единица в тригонометричен вид.
 
:<math>z \equiv \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>.
 
След диференциране и преобразуване, получаваме:
 
:<math>d z = d (\cos \varphi + i\sin \varphi \!)</math>
:<math> \ln z = i\varphi +C</math>
:<math> z = Ae^{i\varphi} </math>
 
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
:<math> z(0) = A = \cos(0) + i\sin(0) = 1</math>
 
=== Тъждество на Ойлер ===
В частния случай, когато <math>\varphi = \pi \!</math> получаваме:
 
: <math>\varphi = \pi \!</math>
 
получаваме
 
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
 
Ако <math>\cos \pi = -1 \, \! </math> и <math>\sin \pi = 0\,\!</math>, следва, че:
Доколкото
 
:<math>\cos \pi = -1 \, \! </math>
 
и
 
:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
 
следва
 
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math>
 
а оттук следва, че:
 
: <math>e^{i \pi} +1 = 0,\,\!</math>
 
== Източници ==
144

редакции