Риманова геометрия: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м излишен празен ред |
м Bot: Automated text replacement (-\"([а-яА-Я0-9,\.\–\-\s]*?)\" +„\1“) |
||
Ред 7:
# Идеята за [[многомерно пространство]], предложена през първата половина на 19 век от [[Херман Грасман|Грасман]] и разработена от други геометри.
В своята лекция ''
Лекцията на Риман привлича вниманието на много математици, които допринасят към изграждането на аналитичния апарат и теоремите, валидни в римановата геометрия. Тя на свой ред се оказва предпоставка за нови научни открития. В края на 19 век [[Грегорио Ричи-Курбастро|Ричи-Курбастро]] и [[Тулио Леви-Чивита|Леви-Чивита]] формулират на тази основа своето [[тензорно смятане]]. Решаващо значение обаче има приложението на римановата геометрия в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] на [[Алберт Айнщайн|Айнщайн]].
Ред 13:
Иначе казано, римановата геометрия е раздел на [[диференциална геометрия|диференциалната геометрия]], в който главен обект на изследване са ''римановите пространства'', или ''пространства с риманова метрика''. Към строгото определение на риманово пространство може да се подходи със следния пример:
* Положението на [[точка (математика)|точка]] в ''n''-мерно [[многообразие]] се определя чрез [[координати]]те <math>x^1, ..., x^n</math>. В евклидовото ''n''-мерно пространство разстоянието между всеки две точки <math>X_1, X_2</math> се пресмята по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2} </math>, където <math> \Delta x^i </math> е разликата между съответните координати на <math>X_1, X_2</math> при <math>i = 1, ..., n</math>.
* Пренасяйки се в римановото пространство, в околност на всяка точка ''А'' могат да се въведат координати <math>x^1, ..., x^n</math>, такива че разстоянието между точките <math>X_1, X_2</math> в околност на ''А'' да се изразява по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2 + \varepsilon} </math>, където при <math>X_1, X_2</math>, приближаващи се към ''А'', е изпълнено условието <math> \frac{\varepsilon}{s(X_1, X_2)} \to 0 </math>. Оттук следва, че в произволни координати разстоянието между близки точки <math>(x^i)</math> и <math>(x^i + dx^i)</math>, или другояче казано, [[диференциал (математика)|диференциалът]] на дължината на дъгата от [[крива]]та се задава посредством израза <math>ds = \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij} dx^i dy^i} </math>, където коефициентът <math>g_{ij} = g_{ij}(x^1, ... x^n)</math> е ненулева функция на координатите. Диференциалът на дължината на дъгата от кривата <math>ds</math> се нарича ''линеен елемент на римановото пространство''.<ref>''
В оригиналния си вид римановата геометрия изисква линейният елемент <math>ds^2</math> да е винаги положителен, което изискване отпада с прилагането ѝ към теорията на относителността.
Нагледен начин да се построи моделът на римановото пространство е по пътя на отъждествяването. За целта възприемаме всяка двойка от диаметрално противоположни точки върху [[сфера]] от евклидовото пространство като една точка в римановото. Следователно на [[окръжност]]та върху сфера от евклидовото пространство отговаря [[права]] в римановото. Индуктивно приложен към ''n''-мерен обект от ''n+1''-мерно евклидово пространство, този метод дава обект от ''n''-мерно риманово пространство.<ref>''
Специално за частния случай на ''n''-мерни риманови многообразия при ''n'' = 2 геометрията на Риман е известна и с наименованието ''[[елиптична геометрия]]''. Тя се различава от евклидовата по Петия постулат на Евклид, който в случая е заменен от постулата, че през точка, нележаща на дадена права, не може да се построи права, [[успоредност|успоредна]] на дадената. Невалиден е и Вторият постулат на Евклид, който гласи, че всяка права може да бъде безкрайно разтегляна в двете посоки.<ref>''"The Penguin Dictionary of Mathematics"'', John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989</ref>
| |||