Векторно произведение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
Редакция без резюме Етикети: Визуален редактор Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
||
Ред 28:
== Свойства ==
*
Доказателство:
Ред 34:
<math>\begin{align}\vec{a} \times \vec{b} & =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\\ & =-\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{vmatrix}\\ & =-\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix}\\ & =-\vec{b}\times\vec{a}\end{align}</math>
*'''''Дистрибутивност:''''' <math>(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}</math>
Доказателство:
Ред 42:
<math>\begin{align}(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}& = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {a_1+b_1} & {a_2+b_2} & {a_3+b_3} \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\\ & =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\\ &=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}\end{align}</math>
* '''''Линейност''''': <math>(\lambda\vec{a})\times(\mu\vec{b})=\lambda\mu(\vec{a}\times\vec{b})</math> за произволни реални числа <math>\lambda</math> и <math>\mu</math>.
Доказателство:
Ред 50:
<math>\begin{align}(\lambda\vec{a})\times(\mu\vec{b})& =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \lambda a_1 & \lambda a_2 & \lambda a_3 \\ \mu b_1 & \mu
b_2 & \mu b_3 \end{vmatrix}\\ &=\lambda\mu\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}\\ & =\lambda\mu(\vec{a}\times \vec{b})\end{align}</math>
*Ако <math>\vec{a}\parallel\vec{b}</math>, то <math>\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}</math>
Доказателство:
Щом <math>\vec{a}\parallel\vec{b}</math>, то <math>\angle(\vec{a}, \ \vec{b})=0^\circ</math>, откъдето следва, че
<math>\vec{a}\times\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert \ \Vert\vec{b}\Vert \sin 0^\circ \ \mathrm{\hat{n}}=\vec{0}</math>
==Геометрично тълкуване==
| |||