Разлика между версии на „Вектор“

редакция без резюме
 
==== Сума ====
[[Image:Vector addition.svg|250px|centerright|Сборът на векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
Сума на два вектора <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> наричаме нов вектор, който означаваме с <math>\vec{a}+\vec{b}</math>, и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.
* Правило на триъгълника:
: <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math>
* Правило на успоредника:
: <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}</math>
 
* Правило на многоъгълника:
За събиране на повече от две вектора се построява представител на всеки следващ вектор с начало във върха на представителя на последния добавен вектор. Сумата от всички вектори има за представител насочената отсечка от началото на първия до върха на последния вектор. Това обобщение на правилото на триъгълника се нарича '''правило на многоъгълника''' и намира приложение в статиката при събиране на сили.
Пример: <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}</math>.
[[Image:Vector addition.svg|250px|center|Сборът на векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
 
* Свойства:
 
<math>\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0} </math>
 
Ако векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> са зададени с координатите си <math>\vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3)</math> и <math>\vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3)</math> в тримерното пространство, тогава <math>\vec{a} + \vec{b}=(a_1+b_1, \ a_2+b_2, \ a_3+b_3)</math>
 
==== Разлика ====
[[Image:Vector subtraction.svg|150px|centerright|Разликата на векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
* От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:
Сумата на един вектор <math>\vec{a}</math> с противоположния на друг вектор <math>\vec{b}</math> наричаме разлика на два вектора.
* От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:
<math>\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})</math>
Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.
[[Image:Vector subtraction.svg|150px|center|Разликата на векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
Ако векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> са зададени с координатите си <math>\vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3)</math> и <math>\vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3)</math> в тримерното пространство, тогава <math>\vec{a} - \vec{b}=(a_1-b_1, \ a_2-b_2, \ a_3-b_3)</math>
 
==== Произведение ====
[[Image:Scalar multiplication by r=3.svg|250px200px|thumb|right|]]
Произведение на вектор <math>\vec{a} \ne \vec{0}</math> с число <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> наричаме вектора <math>\lambda \vec{a}</math> с дължината
<math>\Vert \lambda \vec{a} \Vert = \Vert\lambda \Vert \ \Vert\vec{a} \Vert</math> и с посока:
 
Ако <math>\lambda = 0</math> или <math>\vec{a} = \vec{0}</math>, то <math>\lambda \vec{a} = \vec{0}</math>.
[[Image:Scalar multiplication of vectors2.svg|250px200px|thumb|leftright|]]
 
===== Свойства на произведението =====
<math> \lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}</math>
 
==== Скаларно произведение на два вектора ====
'''[[Скаларно произведение''']] на два ненулеви вектора <math> \vec{a} </math> и <math> \vec{b}</math> е числото <math> \Vert \vec{a} \Vert \ \Vert \vec{b} \Vert \ \cos{\angle{(\vec{a}, \ \vec{b})}}</math>, където <math> \cos{\angle{(\vec{a}, \ \vec{b})}} </math> е [[косинус]]ът на ъгъла между двата вектора, a <math> \Vert \vec{a} \Vert </math> и <math> \Vert \vec{b} \Vert </math> са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала <math>\left [ {0^\circ, \ 180^\circ} \right]</math>. Лесно може да се покаже, че
<math>\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}{.}\vec{b}=0</math>
 
Ако векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> са с координати <math>\vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3)</math> и <math>\vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3)</math> в тримерното пространство, то:
 
<math>\vec{a}{.}\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3</math>
 
==== Векторно произведение на два вектора ====
[[Векторно произведение]] на два вектора е вектор, чиято дължина е равна на произведението от дължините на двата вектора и [[синус]]ът на ъгъла между тях. Самото векторно произведение се дефинира така:
<math>\vec{a}\times\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert \ \Vert\vec{b}\Vert \sin\angle(\vec{a}, \ \vec{b}) \ \mathrm{\hat{n}}</math>, където с <math>\mathrm{\hat{n}}</math> е отбелязан единичният вектор, перпендикулярен на <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.
[[Image:Cross product vector.svg|thumb|200px|right|Илюстрация на векторното проезведение на <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
[[Векторно произведение]] на два вектора е вектор, чиято дължина е равна на произведението от дължините на двата вектора и [[синус]]ът на ъгъла между тях. Самото векторно произведение се дефинира така:
<math>\vec{a}\times\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert \ \Vert\vec{b}\Vert \sin\angle(\vec{a}, \ \vec{b}) \ \mathrm{\hat{n}}</math>, където с <math>\mathrm{\hat{n}}</math> е отбелязан единичният вектор, перпендикулярен на <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.
 
Нека векторите <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> са зададени с координатите си <math>\vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3)</math> и <math>\vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3)</math> в тримерното пространство и <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math> са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава векторното произведение изглежда така:
 
<math>\vec{a} \times \vec{b}=\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right)</math>.
 
[[Категория:Вектори]]
[[Категория:Аналитична геометрия]]
Анонимен потребител