Вектор: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
|||
Ред 1:
{{без източници}}
[[Image:vector from A to B.svg|thumb|]]▼
В [[математика]]та и [[физика]]та '''вектори''' се наричат елементите на [[линейно пространство|линейните пространства]]. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени <math>n</math>-орки от съответното [[поле (алгебра)|числово поле]]. Така [[евклидово пространство|евклидовите пространства]] <math>\ \mathbb{R}^2 </math> и <math>\ \mathbb{R}^3 </math> се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - <math>(x,y)</math>, и пространство - <math>(x,y,z)</math>, където <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> са [[реално число|реални числа]].
В математиката, физиката и инженерството, евклидов вектор (понякога наричан геометричен или пространствен вектор) или просто вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра. В евклидовата геометрия векторът често се представя от част от линия с определена посока.
▲[[Image:vector from A to B.svg|thumb|]]
== Определение ==
Ред 62:
Сума на два вектора <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> наричаме нов вектор, който означаваме с <math>\vec{a}+\vec{b}</math>, и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.
* Правило на триъгълника:
* Правило на успоредника:
При правилото на успоредника се построяват представители <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\overrightarrow{AD}</math> на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник <math>ABCD</math> , който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка <math>\overrightarrow{AD}</math> представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторитe <math>\vec{a} + \vec{b}</math>.
* Правило на многоъгълника:
За събиране на повече от две вектора се построява представител на всеки следващ вектор с начало във върха на представителя на последния добавен вектор. Сумата от всички вектори има за представител насочената отсечка от началото на първия до върха на последния вектор. Това обобщение на правилото на триъгълника се нарича '''правило на многоъгълника''' и намира приложение в статиката при събиране на сили.
Пример: <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}</math>.
Ред 91:
==== Произведение ====
[[Image:Scalar multiplication
Произведение на вектор <math>\vec{a} \ne \vec{0}</math> с число <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> наричаме
Ако <math>\lambda = 0</math> или <math>\vec{a} = \vec{0}</math>, то <math>\lambda \vec{a} = \vec{0}</math>.
===== Свойства на произведението =====
<math> \lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}</math>
Line 136 ⟶ 134:
==== Векторно произведение на два вектора ====
[[Image:Cross product vector.svg|thumb|200px|right|Илюстрация на векторното проезведение на <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>]]
Три вектора в пространството образуват дясна тройка ако при гледане в посока на третия вектор, за да се завърти първият вектор към посоката на втория, чрез въртене на ъгъл по-малък от <math>180^\circ</math>, същият трябва да се завърти по посока на часовниковата стрелка.
[[Векторно произведение]] на два вектора е вектор, чиято дължина е равна на произведението от дължините на двата вектора и [[синус]]ът на ъгъла между тях. Самото векторно произведение се дефинира така:▼
▲[[Векторно произведение]] на два
<math>\vec{a}\times\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert \ \Vert\vec{b}\Vert \sin\angle(\vec{a}, \ \vec{b}) \ \mathrm{\hat{n}}</math>, където с <math>\mathrm{\hat{n}}</math> е отбелязан единичният вектор, перпендикулярен на <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.
Ред 143:
<math>\vec{a} \times \vec{b}=\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right)</math>.
Векторното произведение е антикомутативно, което означава, че размяната на местата на множителите променя знака на векторното произведение:
<math>\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}</math>
==== Смесено произведение на вектори ====
Ако са дадени три вектора <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math> и <math>\vec{c}</math>, произведението <math>(\vec{a}\times\vec{b})\vec{c}</math> се нарича смесено произведение на трите вектора.
Смесеното произведение е число, равно на детерминантата от координатите на трите вектора:
<math>(\vec{a}\times\vec{b}).\vec{c}=\mathrm{det}\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right)</math>
Смесеното произведение е асоциативно, затова може да се означава без уточняване на това, кое произведение е векторно, а кое скаларно, например с <math>(\vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c})</math>:
<math>(\vec{a}\times\vec{b}){.}\vec{c}=\vec{a}{.}(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c})</math>
Смесеното произведение има геометричен смисъл - равно е по модул на обема на паралелепипеда, образуван от трите вектора. От този геометричен смисъл следва, че равенството на смесеното произведение на нула е критерий за компланарност на векторите. (Щом обемът на паралелепипеда е нула, векторите лежат в една равнина или някой от тях е нула.)
Знакът на смесеното произведение зависи от това дали координатната система и тройката вектори са дясно или ляво ориентирани. Ако ориентацията на векторите (дали тройката вектори е лява или дясна) съвпада с ориентацията на координатната система, знакът е положителен, а при различна ориентация - отрицателен.
[[Категория:Вектори]]
[[Категория:Аналитична геометрия]]
| |||