Кариерата на Алексей започва на 17 г., когато той заминава в Гърция и подписва с Олимпиакос. Получава гръцки паспорт и името '''Алексис АмантидисАманатидис'''. През 1995/96 и 1996/97 става шампион на странтастраната, а през 1997 г. печели Евролигата. В 2000 г. той пожелава да играе за Русия на олимпиадата, но ФИБА не дава разрешение,тъйпоради катогръцкия той сему води гръкпаспорт. Същата година играчът си опитва късмета в драфта на [[НБА]], но нито един тим не го избира. След това играе в гръцкия Перистери 1един сезон. През 2001 г. се връща в Олимпиакос. Участва и на европейско първенствоЕвробаскет в състава на Русия. От лятото на 2003 г. се състезава за [[ПБК ЦСКА Москва]]. В компанията на играчи като [[Джон Роберт Холдън]], [[Трейджън Лангдън]], [[Теодорос Папалукас]] и [[Дейвид Андерсен]], Алексей става единственият руснак, който обикновено започва като титуляр за ЦСКА. През 2005/06 и 2007/08 печели Евролигата, а през 2007 г. става европейски шампион с Русия. През сезон 2008 Саврасенко е преследван от много травми и губи мястото си в отбора. В 2009 г. преминава под наем в Спартак Санкт Петербург. В средата на 2009 г. подписва с Динамо Москва и участва в Еврокъп. През сезон 2010/11 е играч на Химки. От 2011 играе в УНИКС Казан. След един сезон там подписва в [[Локомотив-Кубан]]. След края на 2012/13 слага край на кариерата си. Последният му мач е финалът на [[ЕдиннаОбединена ВТБ Лига]] срещу ЦСКА Москва.
