Разлика между версии на „Ортоцентър“

711 байта изтрити ,  преди 1 година
м
редакция без резюме
Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение
мNo edit summary
Етикети: Визуален редактор Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение
[[Файл:Orthocenter5.png|900px|thumb]]
 
Този път ще използваме [[Тъждество на Ойлер|тъждеството на Ойлер]]. Имаме<math>\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}</math>Понеже [[Скаларно произведение|скаларното произведение]] на два перпендикулярни вектора е равно на нула, то стигаме до извода, че
 
<math>\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}\cdot.\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}</math>
 
откъдето и
От формулата за [[Скаларно произведение|скаларно произведение]] на два вектора намираме
 
<math>\cos\angle(\overrightarrow{AB},\perp \overrightarrow{CH})=0</math>
<math>\Vert\overrightarrow{CA}\Vert\ \Vert\overrightarrow{BH}\Vert\cos90^\circ+\Vert\overrightarrow{BC}\Vert \ \Vert\overrightarrow{AH}\Vert\cos90^\circ=-\Vert\overrightarrow{AB}\Vert \ \Vert\overrightarrow{CH}\Vert\cos\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH})</math>
 
тоест
 
<math>\Vert\overrightarrow{AB}\Vert \ \Vert\overrightarrow{CH}\Vert\cos\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH})=0</math>
 
откъдето за косинуса на ъгъла между тези два вектора получаваме
 
<math>\cos\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH})=0</math>
 
Понеже ъгълът между два вектора заема стойности от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math>, то единственото решение на горното уравнение е
 
<math>\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH})=90^\circ</math>
 
Следователно трите височини се пресичат в една точка.
 
=== Еднакви окръжности ===
Нека <math>H</math> е ортоцентърът на триъгълник <math>ABC</math>. Тогава окръжностите, описани около триъгълниците <math>ABH</math> и <math>ABC</math>, са еднакви.
204

редакции