Разлика между версии на „Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)“

Добавено е доказателство
(премахната редакция 905891 на 80.39.162.161 (беседа))
(Добавено е доказателство)
{{Обработка|'''ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.'''}}
'''Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици):''' Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
 
'''Доказателство:''' Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\;
a \le r_n \le b </math>
Ако <math>r</math> има точка на сгъстяване <math>l</math>, то очевидно <math>l\in\left[ a;b \right]</math>.
 
Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>.
 
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, или получаваме противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
 
{{мъниче}}
4

редакции