Разлика между версии на „Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)“

редакция без резюме
(Добавено е доказателство)
Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>.
 
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, иликоето получавамее противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
 
{{мъниче}}
4

редакции