Функция на Мьобиус: Разлика между версии

'''Функцията на Мьобиус''' ''μ''(''n'') е важна функция в [[Теория на числата|теорията на числата]] и [[комбинаторика]]та. КръстенаНаречена е на [[Германия|немския]] [[математик]] [[Аугуст Мьобиус|Август Мьобиус]], който я дефиниравъвежда през [[1832|1832 г.]].

== ДефиницияОпределение ==

Дефиниционното множество на функцията ''μ''(''n'') сае [[Естествено число|естествените числа]]съвкупността <math>\mathbb{N}</math> ина приема[[Естествено едначисло|естествените отчисла]]. Функцията приема трите стойности <nowiki>{1, 0, -1}</nowiki>, които зависят от [[факторизация]]таразлагането на ''n'' вна прости множители. Дефиницията еА следнатаименно:

* ''μ''(''n'') = 1, ако числото ''n'' е [[безквадратно число|безквадратносвободно от квадрати]] естествено числои съсима '''четен''' брой прости множители.;

* ''μ''(''n'') = -1, ако числото ''n'' е [[безквадратно естествено число|свободно от квадрати]] и сима '''нечетен''' брой прости множители;

* ''μ''(''n'') =, ако числото ''n'' не е безквадратносвободно от числоквадрати.

Алтернативенследните Друг начин да се изкажеформулира дефинициятаопределението е, да се дефинират функциитефункции:<br>

ω(''n''), — броят различни прости множители на ''n'' andи<br>

Ω(''n''), — общият брой прости множители на ''n'' (незадължителноне непременно различни). Явно<br>Ясно е, че ω(''n'') ≤ Ω(''n'').

* ''μ''(''n'') = (-1)^ω(''n'') = (-1)^Ω(''n''), ако ω(''n'') = Ω(''n'');

* ''μ''(''n'') = 0, ако ω(''n'') &lt; Ω(''n'').

Функцията на Мьобиус е [[мултипликативна функция|мултипликативна]], (сиреч ''μ''(''ab'') = ''μ''(''a'') ''μ''(''b'') за всекивсички [[взаимно прости числа]] ''a'' и ''b'').

СуматаСборът от стойностите на функцията, извиканакогато върхунейният аргумент пробягва делителите на даденоестественото число ''n'' > 1 е 0:

:<math>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases}1&\mbox{, } n=1;\\