Многообразие: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Bot: Automated text replacement (-една единствена +една-единствена) |
м Добавени запетайки |
||
Ред 1:
[[Файл:Triangle_on_globe.jpg|мини|300px|Върху сфера, сумата на ъглите на един триъгълник не е равна на 180°. Сферата не е евклидово пространство. Локално, обаче, законите от евклидовата геометрия са добри приближения. Сумата от ъглите на малък триъгълник върху повърхността на земята е много близка до 180°. Сферата може да се представи като съвкупност от двумерни карти, следователно сферата е многообразие.]]
В [[математика]]та, '''многообразие''' е [[топологично пространство|пространство]], което „отблизо“ прилича на пространствата, описани в [[евклидова геометрия|евклидовата геометрия]], но което глобално може да има много по-сложна структура ([[Евклидово пространство|Евклидовите пространства]], обаче, също са многообразия). Важно при разглеждане на многообразията е понятието [[размерност]]. Например, [[права]]та е едномерно, а [[Равнина (математика)|равнината]] – двумерно многообразие.
В едномерните многообразия всяка точка има околност, която прилича на отсечка. Примери за едномерни многообразия са правата, [[окръжност]]та, или двойка окръжности. В двумерните многообразия околността на всяка точка прилича на [[кръг]]. Пример за такива са равнината, повърхността на [[сфера]]та, повърхността на [[Тор (геометрия)|тора]]. Размерността може и да е по-голяма, например [[пространство-време]]то в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] е четиримерно многообразие.
Многообразията са важни обекти в математиката и [[физика]]та, защото позволяват сложни пространства да се изразяват и изследват,
Често се дефинират допълнителни структури върху многообразия. Примери за многообразия с допълнителна структура са [[диференцируемо многообразие|диференцируемите многообразия]], върху които може да се използва [[диференциално и интегрално смятане]], [[Риманово многообразие|римановите многообразия]], върху които могат да се дефинират понятията дължина и ъгъл, [[симплектично многообразие|симплектичните многообразия]] които служат за [[фазово пространство|фазови пространства]] в [[класическа механика|класическата механика]], и четиримерните [[Псевдориманово многообразие|псевдориманови многообразия]], които моделират [[пространтво-време|пространство-времето]] в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]].
== Мотивационен пример: окръжност ==
[[Файл:Circle with overlapping manifold charts.png|мини|Фигура 1: Всяка от четирите карти изобразява част от окръжността в отворен интервал, като заедно покриват цялата окръжност.]]
[[Окръжност]]та е най-простия пример за топологично многообразие след евклидовото пространство. Нека е зададена окръжност с радиус 1 и център, съвпадащ с центъра на координатната система. Ако ''x'' и ''y'' са координатите на точките от окръжността, то за тях ще е изпълнено ''x''² + ''y''² = 1.
Локално, окръжността прилича на права линия, която е едномерна. Иначе казано, локално е нужна само една координата за описание на точките от окръжността. Например, точките от горната част на окръжността, за които ''y''-координатата е положителна (жълтата част във ''Фигура 1''), могат да се опишат чрез ''x''-координатата си. Тоест е зададена [[непрекъснатост|непрекъсната]] [[биекция]] χ<sub>top</sub>, която изобразява жълтата част от окръжността в [[Интервал (математика)|отворения интервал]] (−1, 1) чрез [[проекция]] по първата координата
:<math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x. \, </math>
Ред 29:
и
: <math>\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}.</math>
Тук ''s'' е ъгловия коефициент на правата, минаваща през произволна точка с координати (''x'',''y'') и фиксираната точка (−1,0); ''t'' е аналогичното изображение с фиксирана точка (+1,0). Обратното изображение от ''s'' в (''x'',''y'') се дава чрез
: <math>x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}};</math>
Лесно може да се провери, че ''x''²+''y''² = 1 за всички стойности на ''s''. Тези две карти дават друг атлас на кръга, за който
: <math>t = {1\over s}.</math>
Нито една от двете карти не покрива цялата окръжност: ''s'' изпуска точката (−1,0), а ''t'' – (+1,0). Може да се покаже, че не е възможно една-единствена карта да покрива цялата окръжност, откъдето се вижда, че дори и простите примери се нуждаят от гъвкавостта, която дават на многообразията и многото карти.
[[Файл:Conics and cubic.png|мини|Фигура 3: Четири многообразия, образувани от алгебрични криви: <span style="color:#bc1e47">■</span> окръжности, <span style="color:#fec200">■</span> парабола, <span style="color:#0081cd">■</span> хипербола, <span style="color:#009246">■</span> кубика.]]
Многообразията не е нужно да са [[свързано пространство|свързани]] (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са [[затворено множество|затворени]]: отсечка без краищата си е многообразие. Многообразията не е нужно да са ограничени: [[парабола]]та е пример за неограничено многообразие. Други примери са [[хипербола]]та и множеството от точките, които са решение на кубичното уравнение ''y''² – ''x''³ + ''x'' = 0, което не е нито свързано, нито затворено, нито ограничено.
Обаче, примери като две допиращи се окръжности, които образуват 8, не са многообразия, защото не може да се конструира задоволителна карта, изпращаща околност на общата точка в отворен интервал.
От гледна точка на диференциалното смятане, функцията на прехода ''T'' е функция между два отворени интервала, която е [[производна|диференцируема]]. Същото е вярно и за другите функции на прехода в атласа. Следователно с този атлас, окръжността се превръща в ''[[диференцируемо многообразие]]''. Всъщност тя е още ''гладко'' и ''аналитично''.
Ред 48:
:<math>\mathbf{B}^n = \{ (x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 < 1 \}.</math>
Има много различни видове многообразия. Най-простите са [[топологично многообразие|топологичните многообразия]], които локално изглеждат като [[евклидово пространство|евклидови пространства]]. Всъщност, горната дефиниция е дефиниция точно на понятието ''топологично многообразие''. Други типове многообразия имат допълнителна структура.
== Литература ==
| |||