Векторно произведение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
м Бот: Козметични промени |
||
Ред 1:
{{без източници}}
'''Векторното произведение на два вектора''' <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> е [[вектор]], перпендикулярен на равнината, определена от векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>, образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и [[Синус (математика)|синуса]] на [[ъгъл]]а между тях.
Ъгълът между два [[вектор]]а приема стойности от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math>, следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):
Ред 13:
като тук <math>\mathbf{\hat{n}}=\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert}</math>.
[[
Ако са нанесени векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> с общо начало, то директрисата на вектора <math>(\mathbf{a} \times \mathbf{b})</math> минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>. Посоката на вектора се определя с правилото <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a} \times \mathbf{b})</math> да образуват дясно ориентирана тройка вектори.
Ред 27:
== Свойства ==
* '''''Антикомутативност:''''' <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}</math>
Доказателство:
Ред 33:
<math>\begin{align}\mathbf{a} \times \mathbf{b} & =\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right)\\ &=-\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix}\right)\\ & =-\mathbf{b}\times\mathbf{a}\end{align}</math>
* '''''Дистрибутивност:''''' <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}</math>
Доказателство:
Ред 50:
b_2 & \mu b_3 \end{matrix}\right)\\ &=\lambda\mu\ \mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{matrix}\right)\\ & =\lambda\mu(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\end{align}</math>
* Ако <math>\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}</math>, то <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}</math>
Доказателство:
Ред 59:
== Пресмятане на векторното произведение ==
[[
Нека <math>\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}</math> са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:
Ред 70:
Освен това лесно може да се покаже, че <math>\mathbf{i}\times\mathbf{i} = \mathbf{j}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\times\mathbf{k} = \mathbf{0}</math> (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).
С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>.
Понеже
:<math>\begin{alignat}{3}
Ред 91:
== Геометрично тълкуване ==
[[
Нека с <math>S</math> бележим лицето на успоредника и нека <math>\theta</math> е ъгълът, заключен между <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>. Тогава:
<math>S=\Vert\mathbf{a}\Vert \Vert\mathbf{b}\Vert \sin\theta=\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert</math>
== Приложение ==▼
* В [[Аналитична геометрия|аналитичната геометрия]]: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;▼
* В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро - и хидродинамика): пресмятане на ротацията на [[
[[Категория:Линейна алгебра]]
[[Категория:Аналитична геометрия]]
[[Категория:Векторен анализ]]
▲== Приложение ==
▲* В [[Аналитична геометрия|аналитичната геометрия]]: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;
▲* В [[механика|механиката]]: пресмятане на момент на сила, въртящ момент;
▲* В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро - и хидродинамика): пресмятане на ротацията на [[векторно поле|векторно поле]].
| |||