Разлика между версии на „Статистическа сума“

м
Бот: Козметични промени
(Add 1 book for Уикипедия:Възможност за проверка (20210315)) #IABot (v2.0.8) (GreenC bot)
м (Бот: Козметични промени)
 
== Канонична статистическа сума ==
=== Определение ===
В каноничния ансамбъл системата е в равновесие с околната среда при температура ''T'' и броят частици в системата и нейният обем са постоянни. Нека обозначим с ''s'' (''s= 1,2,3,...'') собствените [[квантово състояние|квантови състояния]] на системата, а с ''Е''<sub>s</sub> енергията на системата, когато се намира в собствено състояние ''s''. (Енергиите ''Е''<sub>s</sub> са [[собствена стойност|собствените стойности]] на квантовия [[Оператор на Хамилтон|Хамилтонов оператор]] на системата съответстващи на собствените [[квантово състояние|квантови състояния]] ''s''). Чрез ентропичен аргумент може да се покаже<ref name="LnL_stat_v1"></ref>, че вероятността системата да е в дадено микросъстояние ''s'':
 
:<math>p_s= \frac{e^{-E_s/k_B T}}{Z}</math>
:<math> Z(N,V, T) = \sum_{s} e^{- E_s/k_BT}=\operatorname{tr}\exp{(-\beta \hat{H})}</math>
 
е '''каноничната статистическа сума'''. В последното уравнение ''H'' е квантовият оператор на Хамилтон, а tr''(''exp''(-&beta;HβH))'' обозначава следата на оператора exp''(-&beta;HβH)''.
 
Горното определение за статистическата сума е валидно за квантова система с дискретни квантови състояния. Съответното определение в класическата статистическа механика за система съставена от ''N'' идентични частици е:
\cdots x_N)] \; \mathrm{d}^3p_1 \cdots \mathrm{d}^3p_N \, \mathrm{d}^3x_1 \cdots \mathrm{d}^3x_N </math>
 
където <math>p_i</math> и <math>x_i</math> са триизмерни вектори съответстващи на [[Импулс (механика)|импулсимпулса]]а и позицията на частица ''i'', ''h'' е константата на Планк, ''H'' e класическият оператор на Хамилтон, а [[интеграл]]ът покрива цялото [[фазово пространство]] на системата. Гибсовият фактор ''N!'' е нужен, поради неразличимостта на частиците. Изключването му от израза би довело до [[Парадокс на Гибс|парадокса на Гибс]].
 
=== Връзка с термодинамиката ===
:<math>S=-k_B\sum_s p_s \ln {p_s}=k_B(\ln Z(N,V, T) + \beta U)</math>
 
където ''&beta;β=1/k<sub>B</sub>T'' e обратната температура, a ''U'' е вътрешната енергия на системата:
 
:<math> U= \sum_s p_s E_s </math>
== Статистическа сума в големия каноничен ансамбъл ==
=== Определение ===
В големия каноничен ансамбъл системата може да обменя частици както и топлина с околната среда при фиксирани температура ''T'' и химичен потенциал ''&mu;μ''. Вероятността системата да е в дадено микросъстояние е:
 
:<math>p_s = \frac{1}{Z_g(\mu,V, T)}e^{-\beta(E_s - \mu N_s)}</math>.