Метрично пространство: Разлика между версии

Една функция <math>\rho</math> се нарича метрика, ако чрез нея на всяка [[наредена двойка]] <math>(x,y)</math> от елементи <math>x</math> и <math>y</math> на множеството <math>X</math> се съпоставя реалното число <math>\rho(x,y)</math> и за всеки <span style="white-space:nowrap;"><math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> <math>\!^\in</math> <math>X</math></span> са изпълнени следните три условия:<ref>''Metrischer Raum'' в: ''Lexikon der Mathematik'', Spektrum-Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1159-9</ref>

# <span style="white-space:nowrap;"><math>\rho(x,y)</math> <math>\!^\leq</math> <math>\rho(x,z) + \rho(z,y)</math></span> (''аксиома на триъгълника'' или [[неравенство на триъгълника]])

Тези [[аксиома|аксиоми]] отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. <span style="white-space:nowrap;"><math>\rho(x,z)</math> <math>\!^\geq</math> <math>0</math></span> за всеки две <math>x</math> и <math>z</math>, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при <math>x=y</math>). Също така, разстоянието от <math>x</math> до <math>y</math> е същото, както и от <math>y</math> до <math>x</math>. Неравенството на триъгълника означава, че от <math>x</math> до <math>y</math> може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от <math>x</math> до <math>z</math>, а след това от <math>z</math> до <math>y</math>.