Риманова геометрия: Разлика между версии

* Положението на [[точка (математика)|точка]] в ''n''-мерно [[многообразие]] се определя чрез [[координати]]те <math>x^1, ..., x^n</math>. В евклидовото ''n''-мерно пространство разстоянието между всеки две точки <math>X_1, X_2</math> се пресмята по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2} </math>, където <math> \Delta x^i </math> е разликата между съответните координати на <math>X_1, X_2</math> при <math>i = 1, ..., n</math>.

* Пренасяйки се в римановото пространство, в околност на всяка точка ''А'' могат да се въведат координати <math>x^1, ..., x^n</math>, такива че разстоянието между точките <math>X_1, X_2</math> в околност на ''А'' да се изразява по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2 + \varepsilon} </math>, където при <math>X_1, X_2</math>, приближаващи се към ''А'', е изпълнено условието <math> \frac{\varepsilon}{s(X_1, X_2)} \to 0 </math>. Оттук следва, че в произволни координати разстоянието между близки точки <math>(x^i)</math> и <math>(x^i + dx^i)</math>, или другояче казано, [[диференциал (математика)|диференциалът]] на дължината на дъгата от [[крива]]та се задава посредством израза <math>ds = \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij} dx^i dy^i} </math>, където коефициентът <math>g_{ij} = g_{ij}(x^1, ... x^n)</math> е ненулева функция на координатите. Диференциалът на дължината на дъгата от кривата <math>ds</math> се нарича ''линеен елемент на римановото пространство''.<ref>''„Большая совесткая энциклопедия“'', том. 22</ref>