Уикипедия

Матрица (математика): Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
Незавършена редакция
Редакция без резюме
Ред 1:
{{към пояснение|матрица|Матрица}}
[[Файл:Matrix bg.jpeg|мини|350px|Означение на елементите в матрица m × n]]
В [[математика]]та, '''матрица''' представлява правоъгълна таблица от величини, най-често [[число|числа]] (числова матрица). Величините се наричат елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са [[Число|числа]], [[Вектор|вектори]], [[Функция|функции]] или други математически обекти.<ref name=":0">{{Цитат книга|last=Латка|first=Франтишек|title=Минисправочник по математика|year=1992|publisher=Регалия 6|location=София|isbn=954-8147-02-5|pages=36 – 42}}</ref> Те могат да бъдат от произволно [[поле (алгебра)|поле]] (например [[реални числа|реални]] или [[рационални числа]]) или [[Пръстен (алгебра)|пръстен]]. Матрица от тип ''m'' × ''n'' над поле ''F'' се нарича матрица, елементите на която са от полето ''F'' и има ''m'' реда и ''n'' стълба.:
 
<math display="block">A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}</math>
 
Множеството от матриците над поле ''F'' от тип ''m'' × ''n'' им може да се запише като ''F''<sub>mxn</sub>.
 
Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:
Line 13 ⟶ 17:
</math>
 
== Елементи на матриците ==
Множеството от матриците над поле ''F'' от тип ''m'' × ''n'' им може да се запише като ''F''<sub>mxn</sub>. Обикновено матриците се отбелязват с главни [[латиница|латински букви]] – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – ''a''<sub>ij</sub> или ''A''<sub>ij</sub>, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.
Обикновено матриците се отбелязват с главни [[латиница|латински букви]] – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – ''a''<sub>ik</sub> или ''A''<sub>ik</sub>, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.
 
Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.
 
Матрицата е квадратна (от ред ''n''), когато има равен брой редове и стълбове (''n'' на брой).
 
В една квадратна матрица от ред ''n'', елементите с равни индекси (''a''<sub>''ii''</sub>, ''i''=1.. ''n'') образуват главния ѝ диагонал:
Line 28 ⟶ 29:
 
== Видове матрици ==
* '''триъгълнанулева матрица (0)'''  – квадратна матрица, при която елементитевсички под или над главния диагоналелементи са нули, съответно ''горна'' или ''долна'' триъгълна матрица:
<math display="block">
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>
*'''квадратна матрица''' – матрица с равен брой на редове и колони:
<math display="block">\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>
*'''правоъгълна матрица''' – матрица с различен брой редове и колони:
<math display="block">\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}</math>
*'''триъгълна матрица''' – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно ''горна'' или ''долна'' триъгълна матрица:
 
<math display="block">
Line 58 ⟶ 71:
</math>
 
* '''единична матрица''' ('''E)''' – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:
 
<math display="block">
Line 68 ⟶ 81:
</math>
 
* '''еднакви матрици''' – когато <math>a_{ik} = b_{ik}</math>, тоест съответните им елементи са равни.<ref name=":0" />
* '''[[симетрична матрица]]''' – квадратна матрица <math>A(a_{ij})</math>, за която е изпълнено <math> a_{ij} = a_{ji}, \forall i, j </math>:
*'''[[симетрична матрица]]''' – квадратна матрица <math>A(a_{ij})</math>, за която е изпълнено <math> a_{ij} = a_{ji}, \forall i, j </math>:
 
<math display="block">
Line 87 ⟶ 101:
\end{bmatrix}
</math>
 
== Елементарни преобразувания с матрици ==
 
* '''смяна на местата на два реда''':
 
<math display="block">\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \\ e & f \end{bmatrix}</math>
 
* '''прибявяне на един ред на матрица към друг''':
 
<math display="block">\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a+d & b+e & c+f \\ d & e & f \end{bmatrix}</math>
 
* '''умножаване на ред на матрицата с число различно от 0''':
 
<math display="block">\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ \lambda c & \lambda d \\ e & f \end{bmatrix}, \lambda\neq0</math>
 
== Основни операции с матрици ==
 
; [[Транспонирана матрица|Транспониране]]: [[Транспонирана матрица|Транспонирането]] е [[унарна операция]]. Транспонирата матрица се бележи с ''A''<sup>T</sup> и се получава, като в матрицата ''A'' редовете се запишат като стълбовете, т.е. ''а''<sup>T</sup><sub>''ij''</sub> = ''а''<sub>''ji''</sub>. ''Пример:''
=== [[Транспонирана матрица|Транспониране]] ===
: [[Транспонирана матрица|Транспонирането]] е [[унарна операция]]. Транспонирата матрица се бележи с ''A''<sup>T</sup> и се получава, като в матрицата ''A'' редовете се запишат като стълбовете, т.е. ''а''<sup>T</sup><sub>''ij''</sub> = ''а''<sub>''ji''</sub>. ''Пример:''
 
<math display="block">
Line 107 ⟶ 137:
</math>
 
;=== [[Събиране на матрици|Събиране]] ===
: Събират се само матрици от един и същи типред.<ref name=":0" /> Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:
 
<math display="block">
Line 128 ⟶ 159:
4+\pi & 4,8 & x+y
\end{bmatrix}
</math>Свойства:<ref name=":0" />
</math>
 
* '''комутативност''': <math>\mathsf{A+B=B+A}</math>
* '''асоциативност''': <math>\mathsf{A+(B+C)=(A+B)+C}</math>
* '''дистрибутивност''': <math>\mathsf{(c+d)A=cA+dA}</math>, <math>\mathsf{c(A+B)=cA+cB}</math>
* '''неутралност на нулевата матрица''': <math>\mathsf{A+0=0+A=A\forall A}</math>
* <math>\mathsf{A+C=B+C}</math>, където A и B са еднакви матрици
* противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила <math>\mathsf{A+(-A)=0}</math>
* разликата на матриците А и В е матрицата <math>\mathsf{C=A+B}</math>, като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест <math>\mathsf{A-B=A+(-B)}</math>:
 
<math display="block">\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & 7 & 5\end{bmatrix}</math>
 
;=== Умножение на матрица с число (скалар)<ref name=":0" /> ===
: Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:
 
<math display="block">
Line 136 ⟶ 178:
\begin{bmatrix}
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
\vdots & \cdotsvdots & \cdotsddots & \vdots \\
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
\end{bmatrix}
</math>Свойства:
 
* <math>
\mathsf{1A=A}
</math>
* ако <math>
\mathsf{c,d\in\mathbb{R}}
</math>, то <math>
\mathsf{c(dA)=(cd)A}
</math>
* ако А и В са еднакви матрици, то <math>
\mathsf{\mathit{k}A=\mathit{k}B}
</math>
 
=== [[Умножение на матрици]] ===
; [[Умножение на матрици]]: Умножението на матриците ''A'' и ''B'' е дефинирано само когато ''A'' е '''съгласувана''' с ''B'', т.е., когато броят на стълбовете на ''A'' е равен на броя на редовете на ''B''. Произведението ''C''<sub>''m'' x ''p''</sub> на ''A''<sub>''m'' x ''n''</sub> и ''B''<sub>''n'' x ''p''</sub> се дефинира с равенството:
: Умножението на матриците ''A'' и ''B'' е дефинирано само когато ''A'' е '''съгласувана''' с ''B'', т.е., когато броят на стълбовете на ''A'' е равен на броя на редовете на ''B''. Произведението ''C''<sub>''m'' x ''p''</sub> на ''A''<sub>''m'' x ''n''</sub> и ''B''<sub>''n'' x ''p''</sub> се дефинира с равенството:
 
<math display="block">
Line 173 ⟶ 228:
33 & 38
\end{bmatrix}
</math>Свойства:
 
* две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
* '''комуникативност''' – не е в сила за произволни матрици
* '''асоциативност''': <math>
\mathsf{A(BC)=(AB)C}
</math>
* '''дистрибутивност''': <math>
\mathsf{A(B+C)=AC+BC}
</math>
 
== Детерминанта ==
Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:
Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:
 
<math>
\mathsf{|A|}= \Delta_{0} =\textstyle \sum (-1)^\mathit{I}a_{1}k_{1}.a_{2}k_{2}\dots a_{n}k_{n} \displaystyle
</math>,
 
където сумата е по всички пермутации (''k<sub>1</sub>k<sub>2</sub> …k<sub>n</sub>'') на числата ''1,2,…,n'' и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – <math>
<math display="block">\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} = a</math>
k_{i}>k_{j}
</math>'','' при <math>
i<j
</math>.
 
В сила е нотациата <chem>\mathsf{|A|}=det[A]=\Delta_{0}</chem>.
<math display="block">\det \begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix} = ad - bc</math>
 
=== Пресмятане на детерминанта ===
<math display="block">\det \begin{bmatrix}a&b&c\\
За детерминанта от първи ред:<math display="block">\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} = a</math>За детерминанта от втори ред:<math display="block">\det \begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix} = ad - bc</math>За детерминанта от трети ред:<math display="block">\det \begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\end{bmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg</math>
Line 195 ⟶ 268:
\vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}.</math>Детерминанта от ''n''-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от ''n''-ти ред се получават ''n'' детерминати от (''n-1'')-ви ред.
\end{bmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}.</math>
 
== Източници ==
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Матрица_(математика)“.