Разлика между версии на „Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)“

м
по-дълбока кат.+математика-мъниче
м (по-дълбока кат.+математика-мъниче)
'''ТеоремаТеоремата на [[Болцано]]-[[Вайерщрас]] (за безкрайните редици):''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
{{Обработка|'''ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.'''}}
'''Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици):''' Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
 
'''===Доказателство:''' Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\;===
Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\;
a \le r_n \le b </math>
Ако <math>r</math> има точка на сгъстяване <math>l</math>, то очевидно <math>l\in\left[ a;b \right]</math>.
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
 
{{математика-мъниче}}
 
[[Категория:МатематикаТеореми]]
 
[[ca:Teorema de Weierstrass]]
21 654

редакции