Банахово пространство: Разлика между версии

'''Банаховите пространства''', носещи името на [[Стефан Банах]], са основния предмет на изучаване във [[функционален анализ|функционалния анализ]]. Много [[безкрайно-мерно пространство|безкрайно-мерниlбезкрайномерни]] [[функционно пространство|функционни пространства]] са всъщност банахови пространства.

Нека '''K''' означава едно от [[поле (математикаалгебра)|полетата]] '''R''' или '''C'''.

Пространството на всички [[непрекъсната функция|непрекъснати фунцкиифункции]] ''f'' : [''a'', ''b'']

става банахово, ако се зададе норма на фунцкиятафункцията с ||''f''|| = sup { |''f''(''x'')| : ''x'' in [''a'', ''b''] }, позната и като [[супремум-норма]]. Тя е норма, понеже непрекъснатите функции в затворен интервал са ограничени. Пространството е пълно спрямо тази норма и се означава с C[''a'', ''b'']. Този пример може да се обобщи за пространството C(''X'') от всички непрекъснати функции ''X'' → '''K''', където ''X'' е [[компактно пространство]], или за пространството на всички ''ограничени'' непрекъснати функции ''X'' → '''K''', където ''X'' е [[топологично пространство]] или за множеството B(''X'') от всички ограничени фунцкиифункции ''X'' → '''K''', където ''X'' е произволно [[множество]]. В гореизброените примери функциите могат да се умножават и резултатът е фунцкия от същия вид: т.е. тези пространства са и [[банахова алгебра|банахови алгебри]].

За всяко [[отворено множество]] Ω ⊆ '''C''', множеството ''A''(Ω) от ограничените [[аналитична фунцкияфункция|аналитични фунцкиифункции]] ''u'' : Ω → '''C''' e комплексно банахово пространство спрямо супремум-нормата. Фактът, че равномерната граница на аналитични фунцкиифункции е отново аналитична е лесно следствие от [[теорема на Морера|теоремата на Морера]].

Ако ''p'' &ge; 1 е реално число, могат да се разглеждат функциите ''f'' : [''a'', ''b''] &rarr; '''K''' такива че |''f''|^''p'' е [[сумируемлебегов по Лебегинтеграл|интегруема по Лебег]]. ''p''-ят корен на интеграла <math>\int_a^b|f(x)|^p\,dx</math> се полага за норма на ''f''. От самосебесамо себе си това пространство не е банахово, понеже има ненулеви функции с норма 0. Затова се полага [[релация на еквивалентност]] по следния начин: ''f'' and ''g'' са еквивалентни [[тогава и само тогава]], когато нормата на ''f'' - ''g'' е нула. Пространството от [[съседненсъседен клас |съседни класове]] на тази релация е банахово и се означава с L^{'' p''}[''a'', ''b'']. От особена важност е да се използва интегралалебеговия на Лебегинтеграл, а не на Риманримановия, понеже интегралът на Риман няма да доведе до пълно пространство. За още примери виж [[пространство Lp|L^&nbsp;''p'']].

Ако ''V'' е банахово и '''K''' е съответното [[поле (алгебра)|поле]] (т. е. [[реално число|реалните]] или [[комплексно число|комплексните]] числа), то '''K''' е само по себе си банахово (използвайки [[абсолютната стойност]] за норма). Можем да дефинираме ''[[спрегнато пространство|спрегнатото пространство]]'' ''V''<nowiki>′</nowiki> като ''V''<nowiki>′</nowiki> = L(''V'', '''K'''), пространството от непрекъснатите линейни изображения в '''K'''. То е също банахово пространство (с [[операторна норма]]). Чрез него се дефинира нова [[топология]] във ''V'': [[слаба топология]].

Трябва да се отбележи, че условието за непрекъснатост е необходимо; ако ''V'' е безкрайно-мерно, съществуват линейни изображения, които са прекъснати и следователно не са [[ограничена функция|ограничени]], т. е. пространството ''V''^* от линейни изображения в '''K''' не би било банахово. Пространството ''V''* (наричано и алгебрично-спрегнато, за да се различава от ''V''<nowiki>'</nowiki>) също поражда слаба топология, която е по-фина от топологията, породена от спрегнатото пространство ''V''<nowiki>′</nowiki>&sube;''V''*.

Съществува естествено изображение ''F'' от ''V'' във ''V''<nowiki>′′</nowiki> (спрегнатото на спрегнатото пространство), ададенозададено с

:''F''(''<math>x'')(''f'') = ''f''(''x'')</math>

за всяко <math>x\in V</math> и <math>f\in V'</math>. Понеже ''F''(''<math>x'')</math> е фунцкияфункция от ''V''′ в '''K''', тя е елемент от ''V''<nowiki>′′</nowiki>. Изображението ''<math>F'': ''x'' &rarr;\mapsto ''F''(''x'')</math> е следователно функция ''V'' &rarr; ''V''<nowiki>′′</nowiki>. Следствие от [[теорема на Хан-Банах|теоремата на Хан-Банах]] е, че това изображение е [[инективно]]; ако е и [[сюрективно]], банаховото пространство ''V'' се нарича [[рефлексивно пространство|рефлексивно]]. Рефлексивните пространства притежават важни геометрични свойства. Едно пространство е рефлексивно тогава и само тогава, когато спрегнатото му пространство е рефлексивно, което е изпълнено тогава и само тогава, когато единичното кълбо е [[компактно пространство|компактно]] в [[слаба топология|слабата топология]].