Числен анализ: Разлика между версии

22 байтове добавени ,  преди 14 години
:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}, </math>
 
където <math>\mathbf{A}</math> е матрица с размерност <math>m \times n</math> (<math>m</math> реда и <math>n</math> колони) представяща коефициентите пред вектора с неизвестните <math>\mathbf{x}</math> (с <math>n</math> елемента) и <math>\mathbf{b}</math> е вектор със свободните членове (с <math>m</math> елемента съответстващи на броя уравнения). Когато броят на уравненията е равен на броя на неизвестните <math>m=n</math> (и ако има единствено решение) системата е определена , ако <math>m>n</math> системата е преопределена и ако <math>m<n</math> системата е подопределена. Ако системата линейни уравнения има решение, то тя се нарича съвместима. Една съвместима система е определена ако има единствено решение. Ако матрицата <math>\mathbf{А}</math> е квадратна (т.е броят на неизвестните е равен на броя на уравненията), то тя е определена тогава и само тогава, когато детерминантата на матрицата е различна от нула и решението се записва по следния начин:
 
:<math> \mathbf{x} = \mathbf{A}^-1}\cdot\mathbf{b}, </math>
 
където <math>\mathbf{А}^-1}</math> е обратната матрица такава, че <math>\mathbf{А}\cdot\mathbf{А}^-1}=\mathbf{I}</math>, а <math>\mathbf{I}</math> е единичната матрица. В случай на хомогенна система всичките неизвестни са нула.
 
Такива системи уравнения възникват в редица технически задачи (напр. електрически вериги), както и при численото решаване на посочените по-горе диференциални уравнения. Методите за решаване на линейни системи уравнения се разделят на две групи: преки (директни) и итерационни. При първите решението се достига чрез определена последователност от краен брой (известен брой) изчислителни операции. Такива са методът на Гаус (метод с елиминиране на променливите), правилото (формулите) на Крамер, разлагане на матрицата по сингулярни стойности, <math>QR</math> разлагане, разлагане на Чолески, симплекс метод и др. За разлика от преките, итерационните методи дават решение след неточно определен брой изчислителни стъпки зависещ от критерия за сходимост и сложността на решаваната система. Стартирайки от зададено предварително предполагаемо решение, итеративният метод формира все по-точни приближени решения на всяка итерация оценявайки качеството на последните чрез подходяща кост функция. Ако има сходимост се достига приблизително до точното решение (теоритично до точното решение се достига след безкраен брой итерации), в противен случай обикновено се достига максималния брой итерации и изчислението се преустановява. По-известни методи от групата са: метод на Нютон, метод на бисекцията, метод на Якоби и др. Такива методи се използват за системи с голям брой уравнения, където преките методи не могат да се използват поради ограничения в изчислителната техника (ограничения свързани с размера на оперативната памет на компютрите).
Анонимен потребител