Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
мРедакция без резюме |
|||
Ред 1:
'''Теоремата на [[Бернард Болцано|Болцано]] - [[Карл Вайерщрас|Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
===Доказателство===
Ред 8:
Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>.
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне - Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math>, състоящо се от краен
Тази теорема е доказана от чехския математик Больцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.
| |||