Математическа логика: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
'''Математическата логика''' е съвременна форма на [[формална логика|формалната логика]]. Тя включва и представя по съответен начин всички ценни резултати на традиционната логика, като се започне от силогистиката на [[Аристотел]], но излиза далеч извън схващанията на традиционната логика. Основна съставна част на математическата логика е '''съждителната логика'''. След нея се изгражда '''логиката на предикатите'''. Разглеждането на многоместните предикати е голям неин успех. '''Теорията на типовете''' изследва не само предикати от първа степен, които са приложими към математическите обекти, а също и предикати от предикати и техните връзки. Най-общо математическата логика е теория на логическите константи и предикати от произволна степен и връзките между тях.
Математическата логика разполага подобно на математиката със свой изкуствен език, в който логическите връзки се представят много прецизно и прегледно. Прилагането на този език се нарича '''символизиране.''' Успоредно на него в математическата логика се въвежда строго и последователно '''формализиране''' - от дадени формули се извеждат други формули с помощта на формални операции. Чрез него логическите изводи се прецизират и се привеждат във формата на '''смятане'''. Това формализиране на логическите изводи е наложително в изсдледванията по основите на математиката и метаматематиката, където първоначално е била прилагана математическата логика.
Днес математическата логика се прилага в много математически дисциплини, а също в някои области на теоретичната физика. Свързана е и с информатиката.
== Дялове на математическата логика ==
* Теорията на множествата изучава множества, които са абстрактни съвкупности от обекти. В областта на аксиоматичната теория на множествата се правят изследвания с помощта на логически методи, за да се установи кои математически твърдения в различните формални теории са доказуеми.
* Теорията на доказателствата изследва формалните доказателства и различни логически дедуктивни системи. Доказателствата се представят като математически обекти, за да бъдат изследвани с помощта на математически техники. Фреге се занимава с математически доказателства и формализира понятието доказателство.
* Теорията на моделирането изследва модели на формални теории. Множеството на моделите на определена теория се нарича елементарен клас. Класическата теория на моделирането се опитва да определи свойствата на определен елементарен клас или да определи дали някои класове от структури са елементарни. Методите за елиминиране на кванторите се използват, за да се покаже, че моделите на определени теории не могат да са много сложни.
*
▲ * Rekursionstheorie, auch Berechenbarkeitstheorie genannt, ist das Studium von berechenbaren Funktionen und den Turinggraden, welche die nicht berechenbaren Funktion nach dem Grad ihrer Nicht-Berechenbarkeit klassifizieren. Weiterhin umfasst die Rekursionstheorie auch das Studium von verallgemeinerter Berechenbarkeit und Definierbarkeit.
Die Grenzen zwischen diesen Gebieten und auch zwischen der mathematischen Logik und anderen Bereichen der Mathematik sind nicht immer genau definiert. Zum Beispiel ist der Unvollständigkeitssatz von Gödel nicht nur in der Rekursionstheorie und der Beweistheorie von größter Bedeutung, sondern er führte auch zum Satz von Löb, welcher in der Modallogik wichtig ist. Die Kategorientheorie benutzt ebenfalls viele formale, axiomatische Methoden, die denen der mathematischen Logik sehr ähnlich sind. Allerdings wird Kategorientheorie üblicherweise nicht als Teil der mathematischen Logik angesehen.
| |||