Разлика между версии на „Ред на Тейлър“

1 байт изтрити ,  преди 12 години
редакция без резюме
м
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <font color=#333333><math>\sin x</math></font> и развития по Тейлър от степен <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> и <font color=#888888>13</font>.]]
 
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е апроксимация на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представяметопредставянето ий като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностиестойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]].
 
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' &minus; ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]]
''(Тук f<sup>(''n'')</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)''
 
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите, когато ''a'' = 0, редът също се нарича '''ред на Маклорен''', по името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin).
 
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаезнаят нейната стойност и стойностите на всичките ий производни в дадена точка.
 
На графиката в дясновдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на ''sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
 
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math>
 
Редът на Tейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ|математическиятматематическия анализ]]. Някои от употребитеприложенията му са:
* Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
* Доказателство на теореми от математическия анализ.
 
==История==
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете.
 
В края на XVII век [[Джеймс Грегъри]] също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
 
През [[1715]] [[Брук Тейлър]], доказва и генреализира [[Теорема на Тейлър|теоремата си]], пряко следствие на която е този обобщен ред.
 
Специалният случай и неговото изследване прави [[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
 
==Развитие на някои прости функции==
* [[Експоненциална функция]] и [[натураленестествен логаритъм]]:
 
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x</math>
[[tr:Taylor serisi]]
[[zh:泰勒级数]]
„текст в кавички“
1227

редакции