Топологично пространство: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Робот Добавяне: et:Topoloogiline ruum |
връщам тук съдържанието на Алтернативни дефиниции на топологично пространство - не е имало нужда да се цепи |
||
Ред 1:
'''Тополoгичното пространство''' е основният обект, с който се занимава [[топология|топологията]]. Той възниква от необходимостта да се обобщят и изследват точно свойства на математическите обектите като "близост", "положение един спрямо друг" и "клонене към", абстрахирайки се при това от други техни свойства, като например "размер" и "форма", който стоят в центъра на внимание на други области от математиката.
Line 10 ⟶ 9:
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},T)</math> се нарича '''тополoгично пространство''', елементите на <math>\mathcal{X}</math> - '''елементи''' или '''точки''' на тополoгичното пространство, а елементите на <math>T\,</math> - '''отворени множества'''.
Топологично пространство се задава според по-горе формулираната дефиниция, като се задават неговите '''отворени подмножества'''. Съществуват обаче и много други алтернативни начини за задаване на топологично пространство. Тогава първоначално се определят '''затворените подмножества''', функциите '''затворена обвивка''', '''вътрешност''', '''контур''' или филтрите от '''околности''', а понятието '''отворено множество''' бива дефинирано впоследствие чрез тях.
==Основни понятия и свойства==▼
=== Дефиниране чрез посочване на затворените множества ===
Фамилия <math>F\,</math> от подмножества на множеството <math>\mathcal{X}</math> се нарича '''(затворена) топология''' или фамилия на неговите '''затворени подмножества''', ако изпълнява следните свойства:
*самото множество <math>\mathcal{X}</math> и празното множество принадлежат на <math>F\,</math>,
*сеченията на елементи на <math>F\,</math> са елементи на <math>F\,</math>,
*обединенията на краен брой елементи на <math>F\,</math> са също елементи на <math>F\,</math>.
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},F)</math> се нарича '''тополoгично пространство''', а елементите на <math>F\,</math> - '''затворени множества'''.
Фамилията <math>T\,</math> на '''отворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math> се дефинира както следва:
<math>T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{B}\}_{\mathcal{B}\in F}</math>
=== Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки ===
Нека за всяко на множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>\overline{\mathcal{A}}\subset\mathcal{X}</math>, наречено '''затворена обвивка''' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
*<math>\overline{\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}=\overline{\mathcal{A}}\cup\overline{\mathcal{B}}</math>
*<math>\overline{\varnothing}=\varnothing</math>
*<math>\mathcal{A}\subset\overline{\mathcal{A}}</math>
*<math>\overline{(\overline{\mathcal{A}})}=\overline{\mathcal{A}}</math>
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията затворена обвивка се нарича '''тополoгично пространство'''.
Фамилията <math>F\,</math> на '''затворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math> се дефинира както следва:
<math>F=\{\mathcal{B}:\overline{\mathcal{B}}=\mathcal{B};\mathcal{B}\subset\mathcal{X}\}</math>,
а фамилията <math>T\,</math> на '''отворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math>:
<math>T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus \overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})};\mathcal{A}\subset\mathcal{X}\}</math>
=== Дефиниране чрез задаване на вътрешност ===
Нека за всяко множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{X}</math>, наречено '''вътрешност''' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
*<math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{A}</math>
*<math>Int(Int(\mathcal{A}))=Int(\mathcal{A})</math>
*<math>Int(\mathcal{X})=\mathcal{X}</math>
*<math>Int(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=Int(\mathcal{A})\cap Int(\mathcal{B})</math>
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията вътрешност се нарича '''тополoгично пространство'''.
<math>\mathcal{A}\,</math> се нарича околност на <math>x\,</math> ако <math>x\in Int(\mathcal{A})</math>.
'''Oтворени''' са множествата, които са околности на всяка своя точка.
=== Дефиниране чрез задаване на филтри от околности ===
Нека за всяка точка <math>x\in\mathcal{X}</math> е зададена фамилия от подмножества <math>\mathfrak{U}(x)\subseteq \mathcal{X}</math> наречена филтър от околности на <math>x\,</math> със свойствата:
* <math>\mathcal{U}\in \mathfrak{U}(x) \Rightarrow x\in \mathcal{U}</math>
* <math>\mathcal{U},\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)\Rightarrow\mathcal{U}\cap\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)</math>
* <math>\mathcal{V}\subseteq\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x) \Rightarrow \mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)</math>
* <math>\forall \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x)\ \exists\mathcal{V} \in\mathfrak{U}(x) : y\in\mathcal{V}\Rightarrow \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(y) .</math>
<math>\mathcal{X}</math> заедно с филтирите от околности задават топологичното пространство: <math>(\mathcal{X},\mathfrak{U}).</math> Отворени в това топологично пространство са по дефиниция онези множества <math>\mathcal{A}</math>, за които:
:<math>x\in\mathcal{A} \Rightarrow \left\{\mathcal{U}:\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x),\ \mathcal{U}\subseteq \mathcal{A}\right\}\neq\varnothing.</math>
▲== Основни понятия и свойства ==
Фамилията <math>F=\{\mathcal{B}:\mathcal{B}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\in T}</math> от подмножества на <math>\mathcal{X}</math> се нарича фамилия на '''затворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math>.
| |||